Естественная ширина линии излучения

Полагая в начальную фазу равной нулю, напряженность поля в волне, испускаемой затухающим осциллятором, представим в виде

где постоянная g = 1/ t определяется соотношением. Для нахождения спектра излучения выполним обратное преобразование Фурье

.

Для вычисления интеграла удобно cos w ₀ t выразить через показательные функции

,

тогда .

Рассчитаем первый интеграл

и рассмотрим функцию – спектральную плотность энергии с учетом только одного слагаемого .

Согласно S (w) имеет максимум в точке w = w ₀. При g << w ₀ максимум очень острый. Поэтому в интересующей нас области положительных частот вкладом второго слагаемого из в функцию S (w) можно пренебречь. Описываемая выражением форма спектральной линии излучения называется лоренцевским контуром (рис. 2.10).

Р и с. 2.10

Пунктиром представлен контур линии в области отрицательных частот с максимумом при w = – w ₀, обусловленный вторым слагаемым формулы.

Как видно из рис. 2.10, кривая имеет максимум при w = w ₀ (в области положительных частот), т.е. на частоте собственных колебаний в отсутствие затухания. Уширение спектра излучаемых частот обусловлено радиационным затуханием свободных колебаний осциллятора. Плотность энергии уменьшается вдвое для частот, отличающихся от w₀ на g = 1/ t. Отсюда для ширины линии на половине высоты находим D w = 2 g = 2/ t. Это значит, что ширина полосы излучаемых частот D n связана с характерной длительностью цуга t соотношением: D nt ~1: чем меньше длительность процесса испускания, тем шире спектр частот. Так как D w = 2 g << w ₀, то излучаемый свет можно назвать квазимонохроматическим.

Рассмотренный пример позволяет оценить обусловленную радиационным затуханием естественную ширину спектральных линий излучения свободных атомов. Так как время жизни возбужденного состояния составляет около 10^‑8 с, то для естественной ширины получаем D n ~ 10⁸ Гц. В шкале длин волн оценка естественной ширины спектральной линии дает D l ~ 10^–5 нм.

Как видно из формулы частотный спектр излучения определяется характером изменения во времени напряженности светового поля E (t). Вид этой зависимости, в свою очередь, определяется наряду с радиационным затуханием колебаний такими физическими факторами как тепловое движение осцилляторов (атомов), столкновения, сбивающие фазу колебаний, разброс осцилляторов по частотам и т.п. Каждый из этих факторов обусловливает свой механизм уширения спектральной линии: доплеровское, столкновительное.