Равенство Парсеваля

Докажем одну важную формулу, относящуюся к спектральной плотности, и позволяющую глубже понять ее физический смысл. В теории спектральных разложений эта формула носит название "равенство Парсеваля". Она имеет вид

Для доказательства воспользуемся интегралами Фурье. Получим

Напомним, что звездочка обозначает комплексное сопряжение.

Итак, равенство Парсеваля доказано. Применительно к оптике это соотношение имеет простой физический смысл. Если под процессом f(t) понимать напряженность электрического поля световой волны в некоторой фиксированной точке пространства, то величина

оказывается пропорциональной энергии светового импульса, прошедшей через площадку единичной площади в окрестности данной точки. С другой стороны, согласно равенству Парсеваля, та же самая величина (энергия) равна инте­гралу по всем частотам от спектральной плотности поля . Это означает, что спектральная плотность описывает распределение энергии светового импульса по частотам. В этом состоит физический смысл данной характеристики излучения.