Смешанная задача межотраслевого баланса

Для решения третьей задачи баланса все отрасли разделим на две группы. К первой группе отнесем отрасли, для которых задан конечный продукт. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = . Ко второй группе отнесем отрасли, для которых задан валовой выпуск. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = . Тогда вектор валовых выпусков можно разделить на два подвектора

Х = , (11)

где Х₁ – искомый подвектор с элементами Х_i(i = );

- заданный подвектор с элементами Х_i(i = ).

Аналогично вектор конечного продукта можно разделить на два подвектора

Y = , (12)

где – подвектор с известными значениями Y_i(i = );

Y₂ - подвектор с неизвестными значениями Y_i(i = ).

Матрица А разбивается на четыре подматрицы

А = , (13)

где А₁₁ – подматрица с элементами а_ij (i, j = );

А₁₂ – подматрица с элементами а_ij (i = ; j = );

А₂₁ – подматрица с элементами а_ij (i = ; j = );

А₂₂ – подматрица с элементами а_ij (i, j = ).

Для нахождения неизвестных подвекторов Х₁ и Y₂, зная А, , , представим модель Леонтьева в следующем виде:

× + = . (14)

Раскроем это выражение

А₁₁Х₁ + А₁₂ + = Х₁ (15)

А₂₁Х₁ + А₂₂ + Y₂= .

Из первого уравнения этой системы найдем

Х₁ = (Е – А₁₁)^-1 × (А₁₂ + ). (16)

Из второго уравнения найдем

Y₂ = (Е – А₂₂) × - А₂₁ Х₁ . (17)

Найдя из выражения (16) Х₁ и подставив в выражение (17), получим Y₂.

Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А:

А = .

Конечный продукт первой отрасли равен 8 ед., объем производства второй отрасли равен 10 ед., а третьей – 15 ед. Определить объем производства первой отрасли и конечный продукт второй и третьей.

Решение. Согласно изложенному ранее первая отрасль входит в первую группу, а вторая и третья – во вторую группу, тогда

Х = , , Y = ,

А₁₁ = (0) А₁₂ = (0,1 0,2)

А₂₁ = А₂₂ = .

Из формулы (16) найдем

Х₁ = (1 - 0)^-1 × [(0,1 0,2) × + 8] = 12

Из формулы (17) найдем

Y₂ = × - × 12 = .

Ответ. Таким образом, валовой выпуск первой отрасли равен 12 ед., конечный продукт второй и третьей равен 3,1 ед. и 9,8 ед. соответственно.