Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Импульс системы соударяющихся тел непосредственно перед ударом и сразу после удара одинаков
Если мы пренебрегаем изменением импульса, т.е. считаем, что произошёл удар, то мы должны пренебречь и изменением положения; с другой стороны, если мы пренебрегаем изменением положения системы, то мы должны считать, что произошёл удар, т.е. что импульс в этом процессе не изменился.
При рассмотрении соударения нужно сравнивать два механических состояния соударяющихся материальных точек: непосредственно до (I) и сразу после удара (II). В этих двух состояниях должны совпадать положения соударяющихся тел.
Никаких промежуточных состояний системы «во время удара» не существует по определению удара. Кстати, на вопрос «почему при ударе импульс системы соударяющихся тел сохраняется?» правильным также является ответ: «по определению удара». Итак, основной формулой, с помощью которой анализируются любые соударения, является закон сохранения импульса: 
, следовательно,
.
Импульс системы соударяющихся тел непосредственно перед ударом и сразу после удара одинаков.
Заметим, что по определению удара импульс сохраняется не из-за 
, а в силу кратковременности процесса, поэтому, строго говоря, в замкнутых системах нет места соударениям. Кроме этого, если одно и то же взаимодействие между данными телами происходит в разных внешних обстоятельствах, то в одних случаях это будет удар, а в других - нет. Для примера рассмотрим одинаковое взаимодействие одних и тех же двух маленьких космических тел а) на поверхности Земли; б) «на поверхности черной дыры», где сила тяжести в миллиарды раз больше, чем на поверхности Земли; в) в глубоком космосе в отсутствии внешних влияний. Взаимодействие такое короткое, что влиянием силы тяжести на поверхности Земли на эти пылинки за время взаимодействия можно пренебречь. Только в случае а) это будет удар по данному определению. Однако на практике все эти случаи считаются ударами, т.е. все взаимодействия рассматриваются по отношению к силе тяжести на поверхности Земли. С практической точки зрения ударом называется взаимодействие тел настолько кратковременное, что если бы оно имело место на поверхности Земли, то сила тяжести за время взаимодействия не успела бы существенным образом изменить импульс системы взаимодействующих тел. Именно этим определением мы и будем руководствоваться в дальнейшем. Тогда формула
будет иметь место, если в роли внешних сил выступают силы, сопоставимые по величине с 
. Если мы описываем процесс механическими состояниями «непосредственно до» и «сразу после», совпадающими по положению, то исключаются из рассмотрения все внешние силы порядка .
· Виды ударов
Все удары делятся на два типа: упругие и неупругие. Упругими называются удары, при которых сохраняется механическая энергия системы соударяющихся тел. Механической энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергии. Последняя является энергией положения или взаимного расположения тел. Однако в процессе удара, как указывалось, положение соударяющихся тел не успевает измениться. Значит, при любом ударе потенциальная энергия автоматически сохраняется, и имеет смысл вести речь только о сохранении кинетической энергии.
Неупругими называются удары, при которых не сохраняется механическая энергия системы соударяющихся тел. Опыт показывает, что при любых неупругих ударах механическая энергия уменьшается. Уменьшение или сброс - это разность между тем, что было, и тем, что стало. Сброс механической энергии при ударе называется теплом Q:
.
· Абсолютно неупругий удар
Среди множества неупругих ударов выделяется один, при котором происходит слияние соударяющихся тел. Такой удар называется абсолютно неупругим .
Барон Мюнхгаузен для совершения очередного подвига выпрыгнул из небоскрёба. Падая вертикально, он набрал скорость u1=10 м/с. Навстречу барону был произведён выстрел ядром, которое при встрече с ним имело скорость u2=100 м/с, направленную вертикально вверх. Определить скорость барона после того, как он оседлает ядро, если его масса m1=100 кг, а масса ядра m2=10 кг.
Эта очень простая задача дана исключительно для того, чтобы «почувствовать», что такое абсолютно неупругий удар. Ведь понятно, что за шутливым условием прячется именно он. Прежде всего, мы должны изобразить те механические состояния, которые должны описывать любой удар: непосредственно до и сразу после удара.
В соответствие с тем, что было сказано в параграфе, мы не обращаем внимания на силу тяжести, и нам совершенно безразлично, куда она направлена: вдоль или поперёк движения тел.
Основной закон задачи:
.
В результате подстановки в закон сохранения импульса получаем векторное равенство:
.
Из рисунка видно, что все векторы, входящие в это равенство, направлены по вертикали. В этой ситуации лучший способ перехода от векторного соотношения к скалярному - проецирование на вертикальную ось. Направим ось у, например, вверх. Тогда в результате проецирования:
,
где проекции векторов, направления которых известны, даны в скалярной арифметической записи (через модули с явными знаками), а проекция скорости 
- в алгебраической. Короче, мы имеем уравнение с одной неизвестной uy, которую легко находим:
.
Таким образом, в результате слияния с ядром барон на мгновение остановится относительно Земли.
Процесс обратный абсолютно неупругому удару называется взрывом. Т.е. взрыв - это очень кратковременный процесс разделения массы. К нему приложимо все, что говорилось по поводу ударов.
Из решения последней задачи видно, что в случае абсолютно неупругого удара двух тел при известном механическом состоянии до удара мы имеем только один неизвестный вектор: скорость тел после удара. Поэтому нам достаточно только одного векторного уравнения, для того чтобы найти неизвестное. Требуемое уравнение получается из закона сохранения импульса при ударе. То же самое можно сказать и о взрыве. Однако не всегда это векторное уравнение нужно переводить в скалярное через проецирование.
Каскадёр массой m1=80 кг на санках массой m2=100 кг вначале скользит по гладкому горизонтальному льду со скоростью u=10 м/с, а затем совершает горизонтальный прыжок под углом a=60° по отношению к направлению своей первоначальной скорости. Скорость прыжка относительно льда u1=15 м/с. Определить вектор скорости санок после прыжка 
.
Здесь сразу нужно правильно выбрать точку зрения на требуемые механические состояния системы «каскадёр-санки». Если рисовать «вид сбоку», когда поверхность льда видна горизонтальной прямой, то угла a видно не будет, и рисунок будет неинформативным. Поэтому нужно делать «вид сверху», так чтобы горизонтальная поверхность льда совпадала с поверхностью рисунка.
Понятно, что речь идёт о взрыве общей массы 
с разлётом двух «осколков» 
и 
. Следовательно, можем записать закон сохранения импульса системы и :
и, подставив выражения для импульса системы в первом и во втором состоянии, получить векторное уравнение:
.
Вот здесь не нужно спешить проводить оси для проецирования, а нужно последовать правилу: любое векторное соотношение должно быть представлено в виде векторной диаграммы. Если предыдущий рисунок можно назвать «рисунком-условием», то новый мы назовём «рисунком-решением».
Как Вы понимаете, мы сложили импульсы тел после взрыва по правилу треугольника, поэтому на рисунке у нас получилась геометрическая фигура: треугольник с известным углом. Чтобы совсем перейти на язык геометрии, давайте нарисуем тот же треугольник, но только без векторов: его сторонами будут отрезки, равные модулям векторов. Из последнего рисунка хорошо видно, что известный угол a в треугольнике позволяет записать теорему косинусов по отношению к нему:
.
Это псевдоквадратное уравнение, которое легко решается:
Если бы мы действовали методом проекций, то тоже, наверное, получили бы этот результат, но только совсем не так быстро.
Кстати, задача ещё не решена. У нас спрашивали вектор 
, а пока найдена только его величина. Направление мы будем определять относительно первоначального направления движения. Т.е. нам нужно найти угол b. Для этого к нашему треугольнику применим теорему синусов:
или 
А вот ещё одна простенькая задачка, которая, тем не менее, может вызвать у Вас удивление:
Снаряд массой m1 = 50 кг, летящий вдоль рельсов со скоростью u1 = 600 м/с, попадает в платформу с песком массой m2 = 10 тонн и застревает в песке. Вектор скорости снаряда в момент попадания образует угол a = 45° с горизонтом. Определить u - скорость платформы после попадания в неё снаряда, если платформа двигалась навстречу снаряду со скоростью u2 = 10 м/с.
Что у нас происходит в задаче? Правильно, абсолютно неупругий удар. Аккуратно рисуем, что положено: состояние «непосредственно до» и «сразу после». Итак, «рисунок-условие»:
Может быть не очень понятно как это: вдоль рельсов и при этом не горизонтально? Очень просто: траектория снаряда лежит в вертикальной плоскости (поверхность рисунка), проходящей через горизонталь железной дороги.
Что дальше? Ну да, конечно: закон сохранения импульса при ударе, . Отсюда, понятно,
.
Теперь «рисунок-решение»:
Стоп! Ведь направление на двух рисунках разное! По горизонтальным рельсам платформа может двигаться только горизонтально, следовательно, неправильное направление - на втором рисунке. Но ведь мы всё делали правильно!? Выходит, неправильно.
Нельзя здесь применять закон сохранения импульса. Вы думаете, что происходит соударение двух тел? Нет, трёх: снаряда, платформы и твердого полотна железной дороги. А если мы хотим рассматривать только два первых тела, то у этой системы существует внешняя сила, для которой их взаимодействие – не удар. Это сила со стороны поверхности рельсов, и она за время попадания снаряда в платформу существенно изменяет импульс интересующей нас системы. А если нельзя использовать закон сохранения импульса, то нужно обратиться к более общему закону: изменения импульса системы. Итак,
.
В качестве внешней силы может выступать только сила со стороны рельсов (для силы тяжести это удар, недаром мы нарисовали оба состояния с неизменным положением). Что у нас говорилось по поводу поверхности рельсов? Ничего. Значит, считается, что она гладкая. Так всегда в школьных задачах: по умолчанию сила трения считается равной 0. А со стороны гладкой поверхности может действовать только сила реакции опоры 
(п.1.2.6), которая направлена перпендикулярно поверхности, т.е. вертикально. Тогда
.
Спроецируем это равенство на горизонтальную ось х, указанную на рисунке:
,
Следовательно,
Оказывается, сохраняется не полный импульс, а только его горизонтальная составляющая, и не потому, что удар, а потому, что в горизонтальном направлении система замкнута.
· Упругий удар
До сих пор мы рассматривали только неупругие удары двух тел на примере их наиболее ярких представителей: абсолютно неупругих ударов. Как уже отмечалось ранее, здесь достаточно только одного закона сохранения импульса. Теперь обратимся к упругому удару. Сначала дадим определение: центральным называется удар, при котором все соударяющиеся тела и до, и после удара движутся вдоль одной прямой.
Известны массы m1 и m2 материальных точек, испытывающих упругий центральный удар друг с другом. Известны их налетающие скорости: u1 и u2. Определить скорости разлёта u1 и u2 материальных точек.
Нарисуем механические состояния непосредственно до и сразу после удара.
Запишем закон сохранения импульса при ударе:
.
Возьмём проекцию на направление движения:
.
Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными. Значит, один только закон сохранения импульса не позволит решить эту задачу. Такая ситуация возникает всегда, когда два тела после удара по-прежнему двигаются по отдельности. Но в нашем случае есть одно условие, которое позволит без проблем написать второе уравнение. Это упругость удара. Значит, кинетическая энергия тел при ударе сохраняется, следовательно,
.
После подстановки получаем уравнение:
.
Оно вместе с уравнением сохранения импульса составляют замкнутую систему для определения u 1 и и 2:
Эта система плохо поддаётся «стандартному» решению методом подстановки, но существует хорошо известный способ обойти основные трудности, который лучше всего выучить наизусть. Для этого разобьем решение на шаги.
Шаг 1. Группируем члены обоих уравнений по индексам:
Шаг 2. Выносим общие множители:
Шаг 3. Раскладываем разности квадратов:
Шаг 4. Делим почленно первое уравнение на второе (мы имеем право это делать без опаски, т.к. мы делим на массы и разности проекций, которые при ударе должны быть разными):
.
В результате мы получаем очень простое уравнение взамен сложного квадратного уравнения закона сохранения энергии. То есть, можно записать систему, эквивалентную исходной, но гораздо более простую:
Её легко решить методом подстановки:
Вынесем общий множитель в левой части и для дальнейших целей сгруппируем члены правой части по скоростям:
.
Отсюда окончательно:
.
Для того чтобы получить выражение u 2, мы не будем подставлять выражение u 1 в u 2. Вместо этого посмотрим на исходную систему уравнений:
У неё есть одна особенность: перестановка индексов (т.е. замена индекса «1» на индекс «2» и наоборот) приведёт к той же самой системе. Как говорят, система симметрична по отношению к перестановке. В этом случае перестановка индексов в правильном ответе тоже приводит к правильному ответу. Тогда на основании выражения для u 1 получаем выражение для u 2:
; 
.
· Частица и поверхность
Под взаимодействием частицы и поверхности мы будем понимать удар частицы о поверхность, а поверхность всегда будет принадлежать телу, чья масса М значительно больше массы частицы т. Поверхность мы всегда будем рассматривать гладкую, т.е. без шероховатостей, рёбер, прорезов, острий и проколов. Дело в том, что к гладкой поверхности любой формы всегда можно приблизиться так близко, что она будет казаться бесконечной плоскостью.
В состояниях, необходимых для описания удара, должны совпадать положения, поэтому частицу нужно изображать на поверхности, т.е. на плоскости. В месте падения частицы проведём перпендикуляр к поверхности. Острый угол между скоростью падающей частицы и перпендикуляром к поверхности в точке падения называется углом падения (a). Острый угол между скоростью падающей частицы и поверхностью называется углом скольжения (b). Угол падения и угол скольжения связаны естественным соотношением:
a + b= 90º,
следовательно, cos a =sin b.
Угол падения очень часто будет появляться в формулах данного пункта, и очень важно не путать его с углом скольжения, потому что это приведёт к ошибке для всех значений угла a, кроме 45º.
Нам нужно дать ещё два определения. Острый угол между скоростью отскока и перпендикуляром к поверхности в точке падения называется углом отражения (a'). Острый угол между скоростью отскока и поверхностью называется углом скольжения на отскоке (b').
a' + b'= 90º; cos a' =sin b'.
В данном параграфе будут рассматриваться удары только двух типов: упругие и абсолютно неупругие. Начнём с упругого удара.
В этом случае оба необходимых механических состояния можно изобразить «в одном месте». Скорости 
и , направленные в разные стороны, ясно указывают, какое состояние каждая из них представляет. Для того чтобы понять, чем упругий удар отличается от просто неупругого, достаточно сравнить удар о стену или пол, произведённый хорошо надутым мячом, с ударом плохо надутого мяча. Только удар должен быть простой, т.е. нерезаный и некручёный.
Из упругости удара следует, что 
; 
; 
. Следовательно, 
, т.е. модули скоростей до удара и после совпадают. А как соотносятся направления и 
? Очень часто на этот вопрос автоматически дают ответ: «угол падения равен углу отражения». А почему? Как правило, членораздельных объяснений услышать не удаётся. Подчеркнём, что упругость удара сама по себе «отвечает» только за равенство модулей u и u. Но это условие может выполняться при любом соотношении углов падения и отражения.
Докажем, что равенство углов падения и отражения достигается при упругом ударе о гладкую поверхность. При этом, как уже показывалось ранее, изменение касательной составляющей импульса частицы равно 0. Следовательно, 
. Тогда прямоугольные треугольники импульсов АВС и АВ'С' равны по катету и гипотенузе. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Поэтому угол падения равен углу отражения при упругом ударе только о гладкую поверхность.
С другой стороны, если опытным путём устанавливается (например, при игре в теннис во время приёма простой подачи), что a и a' равны, то поверхность по отношению к этому упругому удару можно считать гладкой. Мы в дальнейшем будем рассматривать упругий удар только о гладкую поверхность (по умолчанию).
Рассмотрим абсолютно неупругий удар частицы о поверхность при произвольном угле падения. Здесь на одном рисунке оба требуемых состояния не уместить.
Импульс системы «частица-поверхность» в первом состоянии
.
А во втором? Если считать, что 
, то получим, что импульс системы при ударе не сохраняется. Значит, мы не имеем права считать, что поверхность, т.е. тяжёлое тело М, которому она принадлежит, неподвижно во втором состоянии. Пусть его скорость после удара равна . Тогда
.
Следовательно,
.
Если поверхность - асфальтовый плац, то тяжёлое тело - Земля. Пусть лёгкое тело - это капля дождя. Значит, речь идёт о скорости, которую приобретает планета Земля, после того как в неё попадёт капля. Только вдумайтесь! Имеет ли смысл учитывать эту скорость? Если Вы действительно представили ситуацию, то известно, какой ответ у Вас напрашивается. Но правильный ответ: «да, имеет». Если пренебречь скоростью и, то не выполнится закон сохранения импульса при ударе, а этот закон гораздо важнее того, что подсказывает здравый смысл. Нечеловечески маленькая скорость u умножается на нечеловечески большую массу М, и получается «человеческий» импульс mu. В результате удара тело, обладающее поверхностью, или коротко, поверхность приобретает импульс, сопоставимый с импульсом налетающего тела. А если и =0, то какая бы большая ни была масса М, произведение её на 0 будет равно 0.
Как измерить передачу импульса поверхности со стороны частицы? Совершенно очевидно, что «прямое измерение» 
ни к чему не приведёт, поскольку скорость, приобретаемую Землёй в результате удара о неё капли или мяча, никакими приборами определить невозможно. Гораздо проще исходить из закона сохранения импульса системы «частица-поверхность» при ударе:
Þ 
Как ни странно, эта простая формула и есть главная формула данного пункта:
Date: 2015-07-22; view: 1579; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |