Методы барьерных функций

Недостаток метода внешней точки в том, что обычно не удается с абсолютной точностью выполнить все ограничения. От этого недостатка свободны методы внутрен­ней точки, иначе называемые методами барьерных функ­ций. В этих методах также строится последовательность точек минимума некоторых функций, которая сходится к точке минимума исходной целевой функции, но не извне, а изнутри ОДР. Добавки к исходной целевой функции служат барьерами, удерживающими точку внутри допус­тимой области. В качестве барьерной может использовать­ся функция

и в целом преобразованная функция имеет вид

(2.14)

Начальная точка должна быть внутренней точкой ОДР, где все c_j(x) < 0. Когда она приближается к границе, к функции F(x) прибавляется большая положительная величина. Последовательность коэффициентов k_n в мето­де барьерных функций стремится не к бесконечности, а к нулю, начиная с достаточно больших положительных значений.

Метод барьерных функций применяется при решении задач, в которых целевые функции за пределами допусти­мой области не определены или их трудно вычислить. Кро­ме того, он предпочтителен, когда не нужна высокая точ­ность достижения минимума, но важно выдержать ограни­чения.

Одним из эффективных методов решения задач с нелинейными ограничениями является разработанный в 70-х гг. XX в. метод модифицированной функции Лагранжа (МФЛ). Метод базируется на той же идее штраф­ных функций, но вместо одного параметра k_n в формуле (2.13) вводится несколько параметров, управляя кото­рыми по ходу решения задачи можно улучшить сходи­мость. Существует несколько вариантов метода, отли­чающихся видом штрафной функции и методами изме­нения ее параметров. При решении практических задач хорошие результаты были получены по алгоритму Пауэлла (Powell M.J.D.), в котором для поиска минимума исходной целевой функции F(x) при ограничениях c_j(x) <= 0 используется функция

Векторы σ и θ имеют по m компонент (по числу огра­ничений) и представляют собой набор параметров штрафной функции, которая отличается от рассмотрен­ной выше тем, что вместо одного параметра теперь два параметра на каждое ограничение. Знак + означает, что в сумму включаются только те слагаемые, для которых c_j(x) + θ_j > 0. Здесь θ_j > 0 — «запас» в j-ом ограничении, т.е. штрафуется не только настоящее нарушение при c_j(x) > 0, но и c_j(x) > - θ_j.

Если в системе ограничений были равенства, то соот­ветствующие им слагаемые всегда присутствуют в сумме. При θ_j = 0 и σ _j = k (j = 1,2,..., m) штрафная функция та же, что в (2.13). Недостаток (2.13) в том, что ее вторые произ­водные по х разрывны на границе допустимой области, причем разрывы тем больше, чем больше к, который при­ходится увеличивать в каждом новом итерационном цикле безусловной минимизации. Иное дело, когда σ _j постоянны, а варьируются только θ_j. В этом случае поверхности раз­рывов вторых производных удалены от точек безусловного минимума, определяемых при решении задач в каждом цикле оптимизации.

Начальные значения параметров θ_j > 0 и σ _j > 0 выбира­ют, ориентируясь на смысл и важность соответствующих ограничений и величины невязок в ограничениях в точке начального приближения. Затем решается задача на без­условный минимум Ф(х, σ, θ). Наилучшие результаты для задач с нелинейными ограничениями были получены при использовании методов второго порядка с последователь­ным формированием обратной матрицы Гессе, т.е. DFP-процедуры (см. раздел 2.3.5). При этом на начальных этапах не требуется высокая точность поиска безусловного мини­мума. После того как задача на безусловный минимум ре­шена, проверяются ограничения и, если есть нарушения, меняются параметры σ и θ. При этом используется правило: если j-oe ограничение выполнено с «запасом», т.е. c_j(x) > - θ_j, то новое значение θ_j¹ = 0, а если нет, то θ_j¹ = θ_j + c_j(x). И так по всем ограничениям.

Для пересчета σ _j действует другое правило: если в j-ом ограничении в результате решения задачи на безусловный минимум невязка уменьшается быстро, то σ _j не меняется, а если медленно, то увеличивается. Обычно используются такие константы: если невязка уменьшилась меньше, чем в четыре раза, то соответствующее σ _j умножается на 10 и при этом θ_j делится на 10.

После пересчета параметров повторяется процесс без­условной минимизации или, как говорят, делается очередная внешняя итерация. Счет прекращается в следующих случаях:

1. Получено решение с приемлемыми невязками. При этом можно для контроля сделать еще одну внешнюю
итерацию и убедиться, что решение практически не из­менилось.

2. После исчерпания заданного лимита внешних итера­ций решение не получено. При этом есть все основания усомниться в совместности системы ограничений и, следовательно, в существовании решения исходной задачи.

Вопросы для самоконтроля:

1.Метод штрафных функций (для задач с ограничениями),

2.Метод линеаризации.

3. Стратегии глобализации сходимости: одномерный поиск, методы доверительной области.

Рекомендуемая литература:

1.Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2003.

2.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.