Действия над комплексными числами

13.042015

Тема ’’ Комплексные числа. Действия над комплексными числами’’

Изучив данную тему студент должен знать и уметь:

1)Соглашение о комплексных числах.

2) Сложение комплексных чисел.

3) Деление комплексных чисел.

4) Модуль и аргумент комплексного числа.

5)Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел.

Теоретическая часть.

1.О комплексных числах.

Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными.

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действитель-

ные числа, а i – число нового рода, называемое мнимой единицей.

“Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел

(когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b – ординатой комплексного числа

a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведе-

ние i*i равно –1, т.е.

i²= -1. (1)

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

3. Соглашение о комплексных числах.

1. Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i).

П р и м е р ы. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0i означает –2.

2. Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi.

3. Два комплекных a + bi, a’ + b’i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если

a = a’, b = b’. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:

2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом.

З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i.

4.Сложение комплексных чисел

О п р е д е л е н и е. Суммой комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называют комплексное число (a + a’) + (b + b’)i.

Это определение подсказывается правилами действий с обачными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3i) + (- 2 – 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.

4.Вычитание комплексных чисел.

О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i.

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

5.Умножение комплексных чисел.

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a’ + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i ^2­­­­­= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a’ + b’i) должно равняться aa’ + (ab’ + ba’)i + bb’i^{2­­­ ­}, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число

(aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.

З а м е ч а н и е 1. Равенство i^2­­­­­_­­­_­­­ = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i ^{2 ­­­­­}­­­­­­­, т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a’ = 0, b’ = 1 Имеем aa’ – bb’ = -1, ab’ + ba’ = 0, так что произведение есть –1 + 0i, т. е. –1.

З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i^2­­­­ = -1.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i ^{2 ­} = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a² + b ²

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

6. Деление комплексных чисел.

Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно (доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)(-3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.

Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу:

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi.

З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления.

З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: (a’ + b’i)(x + yi) = a + bi. Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения:

a’x – b’y = a; b’x + a’y = b.

Эта система имеет единственное решение:

если a’/b’ = -b’/a’, т. е. если a’² + b’² = 0.

Остается рассмотреть случай a’² + b’ ² = 0. Он возможен лишь тогда, когда a’ = 0 и b’ = 0, т. е. когда делитель a’ + b’i равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).

8. Модуль и аргумент комплексного числа.

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r. Из чертежа видно, что

r = | a + bi | = a² + b²

Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a – bi имеют один и тот же модуль.

9. Геометрический смысл сложения и вычитания

комплексных чисел.

Пусть векторы ОМ и ОМ’ (фиг. 4) изображают комплексные числа z= x + yi u z’ = x’ + y’i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM’. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.

Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ’.

Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.

Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому

||z| - |z’|| < |z + z’| < |z| + |z’|.

Равенствоимеет смысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМ’ имеют одинаковые (фиг.5) или противоположные (фиг.6) направления. В первом случае |OM| + |OM’| = |OK|, т. е. |z +z’|=|z| + + |z’|. Во втором случае |z + z’|=||z| - |z’||.

10. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и агрумент q. Формулами

a = r cos q; b = r sin q.

Поэтому всякое комплексное комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), где r > 0.

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами.

Комплексные числа - числа вида x+iy, где x,y∈R, а
i, такое число, что i2=−1. Множество комплексных чисел
обозначается C.