Пример 6. Запишите z в алгебраической форме, если

а)

.

б) .

.

Y₁ = 1– i Y₂ = 1 + i

X₁ = 1 + i X₂ = 1– i

№ 2

Доказать, что сумма двух комплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.

1 СПОСОБ:

Пусть Z₁=X+Y× i и Z₂=U+V× i

Доказать что:

Докажем методом от противного:

> / т.к. корень существует только из неотрицательного числа, то можно возвести в квадрат обе части неравенства.

X²+2·X·U+U²+Y²+2·Y·V+V² > X²+Y²+U²+V²+2·

2·(X·U+Y·V) > 2·

Если мы предположили верно, то X·U+Y·V > 0, а поэтому возведем в квадрат:

X²·U²+2·XU·Y·V+Y²·V² > X²·U² + X²·V²+Y²·U²+Y²·V²

2·X·Y·V·U > X²·V²+Y²·U²

X²·V²+Y²·U² – 2·X·Y·V·U < 0

(X·V + Y·U)² < 0

Это невозможно, т.к. A² 0, значит полученное нами неравенство неверно.

что и требовалось доказать

2 СПОСОБ:

Пусть Z₁ и Z₂ – два произвольных комплексных числа. Z₁­– соответствует точке A, Z₂ – соответствует точке B.

В силу неравенства треугольника

т.е.

Что и требовалось доказать.