Комплексные числа и их характеристики

Введем в рассмотрение мнимую единицу , то есть число, квадрат которого равен -1 (i² = -1). Пусть x и y какие- либо действительные числа. Тогда число z = x + iy называется комплексным (иногда «мнимым») числом.

Число x обычно называют действительной или вещественной частью комплексного числа z, а y - его мнимой частью. Часто употребляется обозначение x = Re z, y=Im z (от слов re ality и im aginaire, фр.)

Если х = 0, то число z называют чисто мнимым. Если х = у =0 одновременно, то мы имеем дело с комплексным числом 0.

Из сказанного следует, что комплексное число можно изобразить точкой на плоскости (рис.1). Возьмём для этого прямоугольную систему координатных осей (хОу). Вещественные числа z = х + оi изображаются точками на оси x, числа z=o+iy точками на оси у. Эти оси и называют, соответственно, вещественной (или действительной) и мнимой. Тогда любой точке плоскости М (х, у), координатами которой являются действительная и мнимая части комплексного числа х + iy,может быть поставлено в соответствие это число. И наоборот: каждому комплексному числу соответствует лишь одна точка этой плоскости. Из- за наличия взаимно однозначного соответствия между точками этой плоскости и комплексными числами, рассматривается плоскость называется комплексной плоскостью или плоскостью комплексного переменного z и обозначается обычно.

Комплексные числа z₁ = x₁ + iy, и z₂ = x₂ + iy₂ считаются равными, т.е. z₁ = z₂, тогда и только тогда, когда х₁ = х₂ и у₁ = у₂. Такое определение равенства чисел является естественным и по причине введения комплексной плоскости. По этой же причине ясно, что понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не

определяются1. Довольно часто, особенно в электротехнике, а также при изучении различных колебательных и волновых процессов комплексным числам ставятся в соответствие вектора с началом в точке (0;0) и концом в точке М (х;у) – (На рис. 1 стрелочка у М на прямой ОМ не поставлена специально!). Аналогия комплексных чисел с векторами является совсем не полной: определены сложение и вычитание, но не определены аналоги скалярного, векторного и смешанного произведений.

Вопросы

1.На какой оси комплексной плоскости будут располагаться

а) действительные числа?

б) чисто мнимые числа?

2. Изобразите на комплексное число 0.

Тест

1. Что такое i при записи z = x + iy?

а) обозначение силы тока, действующей в любой точке.

б) обозначение момента инерции относительно начала координат?

в) i =

г) 3,1416….

2. Что обозначает значок?

а) комплексную плоскость,

б) указание на то, что рассматривается трёхмерное пространство,

в) указание на то, что интегрирование проводится по замкнутому контуру,

г) вычисляется работа, совершаемая в цикле Карно.

3. Что означает запись ?

а) обозначения числа комплексного сопряжённого z,

б) указание на то, что на оси Z расположены только векторы,

в) рассматривается точка симметричная z относительно начала координат.