Умножение комплексных чисел и возведение их в степень

Операция умножения проводится по правилам умножения многочленов с учётом правила возведения в степень мнимой единицы i.

Ясно, что

и т.д.

Закономерность установить не сложно.

(3)

где n- любое натуральное число.

Перемножим два комплексных числа и .

= .

Пример:

Примечание: Результатом умножения комплексного числа на его сопряжение является действительное число. Убедитесь в этом сами.

Более эффектно операция умножения выглядит, когда перемножаются комплексные числа, заданные в тригонометрической форме:

= r₁(cosφ₁ + i sinφ₁) и z₂ = r₂(cosφ₂ + i sinφ₂) z = z₁z₂ = r₁(cosφ₁ + i sinφ₁) ∙ r₂(cosφ₂ + i sinφ₂) = r₁r₂ [(cosφ₁cosφ₂ – sinφ₁sinφ₂) + i (sinφ₁cosφ₂ + sinφ₂cosφ₁)].

Вспоминая школьный курс тригонометрии (теоремы сложения для косинуса и синуса) получим z = z₁z₂ = r₁r₂ [cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)].

Таким образом, получаем правило «при умножении двух комплексных чисел друг на друга их модули перемножаются, а аргументы складываются».

Это свойство распространяется на любое число сомножителей. Нужно только либо перемножать их последовательно, либо пользоваться «таблицей умножения» (3). Геометрически результирующая картина будет следующая. Вектор О получается из вектора О , поворотом последнего на угол φ₂ (против движения часовой стрелки, если φ₂ › 0) и удалением в r₂ раз. Из введения правил умножения легко получается очень красивая формула Муавра, позволяющая возводить любое комплексное число в любую натуральную степень n. Пусть Тогда из вышеизложенного в данном разделе следует, что

, то есть

(4)

Равенство (4) называется формулой Муавра и часто используется на практике, Сам Абрахам Муавр установил не только правило возведения в степень, но и научился извлекать корень любой степени из комплексного числа. При этом правила он формулировал словесно, а аналитическую запись предложил позднее Леонард Эйлер.

Примеры:

1. Вычислить .

(берём главное значение аргумента).

.

2. Выразить и через и .

Решение:

Воспользуемся формулой Муавра

Для нашего случая, положив z= 1, получаем

или

Приравнивая действительные и мнимые части обеих частей равенства, получим

и

Примечание: Совершенно аналогично, используя бином Ньютона для левой части равенства и пределов выкладки «в лоб», можно получить выражения для и через и при любом натуральном .

Задачи

1. Вычислить i²⁰⁰⁴, i¹⁹⁹⁷, i²⁵, i¹⁶

2. Перемножить Результаты записать в координатной и тригонометрической формах.

Тест

1. При перемножении и результатом является

а) действительное число, б) место мнимое число, в)нуль,

2. Угол φ отсчитывается.

а)по часовой стрелке, б) против часовой стрелке, в)направление отсчёта безразлично, г) направление отсчёта безразлично.

3. При возведении в степень n аргумент исходного комплексного числа а) остается неизменным, б) увеличивается в n раз, в) уменьшается в n раз.

4.Для того, чтобы выразить cos5φ и sin5φ через cosφ и sinφ нужно:

а) воспользоваться формулой из базового курса тригонометрии,

б) воспользоваться формулой Муавра, и правилами алгебры,

в)задачу можно не решать, так как она решения не имеет.