Степени мнимой единицы

Лекция 1. Комплексные числа.

Комплексные числа

Действительных чисел оказывается недостаточно для решения алгебраических уравнений.

Например: или ; .

Для решения уравнения нужно ввести некоторое новое число и считать его решением этого уравнения. Будем обозначать это новое число символом i.

Таким образом, для числа i справедливо (так как он корень уравнения):

- называется мнимой единицей; .

Введение мнимой единицы позволяет извлекать корни чётных степеней из отрицательных чисел.

Степени мнимой единицы

Рассмотрим степени мнимой единицы:

Если выписать все значения степеней числа , то мы получим такую последовательность: и т.д. Легко видеть, что значения степеней числа повторяются с периодом равным четырём. Таким образом, если показатель степени числа делится на четыре, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на четыре в остатке получается 1, то значение степени равно ; если при делении показателя степени на четыре в остатке получается 2, то значение степени ; если при делении показателя степени на четыре в остатке получается 3,то значение степени равно – . Пользуясь этим правилом можно вычислять любую степень числа .

Определение 1.1. Комплексными числами называются выражения вида (а, b – действительные числа, – символ) и обозначаются: .

a – это действительная часть комплексного числа ,

b – это мнимая часть комплексного числа .

Пример1.1. .

.

.

Для комплексных чисел вводятся понятия сложения, умножения и равенства:

а) Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда .

б) Суммой чисел называется число .

в) Произведением комплексных чисел – называется число:

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.