ГЛАВА 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

§ 1. Синус, косинус и тангенс угла.

94.

○ Определение. Основным тригонометрическим тождеством называется равенство .

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

96.

n Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

97.

n Теорема (синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

○ Теорема (синусов, расширенная). Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.

98.

● Теорема (косинусов). Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

§ 3. Скалярное произведение векторов.

101.

 Определение. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

102.

n Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

○ Теорема. Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

○ Определение. Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на себя и обозначается .

○ Теорема. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

103.

n Теорема. Скалярное произведение векторов и выражается формулой: .

● Следствие 1 (условие перпендикулярности векторов). Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 ().

n Следствие 2 (косинус угла между векторами). Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулой: .

104.

n Теорема (основные свойства скалярного произведения векторов). Для любых векторов , , и любого числа k справедливы соотношения:

1. , причем >0 при ;

2. (переместительный закон);

3. (распределительный закон);

4. (сочетательный закон).