Стандартна модель

Комплексне число

Комплексним числом називаЕться число виду а+b; b – коефЫцЫент

Комплексні числа утворюють алгебраїчно замкнуте поле — це означає, що многочлен ступеня n із комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів. Це одна з головних причин широкого застосування комплексних чисел у математичних дослідженнях. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно і компактно сформулювати багато математичних моделей, що застосовуються в математичній фізиці та природничих науках — електротехніці, гідродинаміці, картографії, квантовій механіці, теорії коливань і багатьох інших.

Означення

Поле комплексних чисел можна розуміти як розширення поля дійсних чисел, в якому многочлен z² + 1 має корінь. Наступна модель показує можливість побудови такої системи чисел. Усі представлення комплексних чисел є ізоморфними розширеннями поля дійсних чисел, як і будь-які інші конструкції поля розкладу многочлена z² + 1.

Стандартна модель

Комплексне число Z можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел. Введемо операції додавання і множення таких пар наступним чином:

•(x,y) + (x¹,y¹) = (x+x¹, y+y¹)

•(x,y) × (x¹,y¹) = (xx-yy¹, xy¹+yx¹).

Дійсні числа є в цій моделі підмножиною множини комплексних чисел і представлені парами виду (x, 0), причому операції з такими парами узгоджені зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль представляється парою 0 = (0, 0), одиниця —1 = (1, 0), а уявна одиниця —i = (0, 1). На множині комплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що і на множині дійсних, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює (—1, 0), тобто —1

Нескладно показати, що визначені вище операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є ​​тільки властивості, пов'язані з відношенням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа і при цьому зберігши звичайні властивості порядку, неможливо.