Геометричне представлення

Комплексне число можна ототожнити з точкою площини:

•в декартовій системі координат точка описується парою координат чи (алгебраїчна форма комплексного числа).

•в полярній системі координат точка описується довжиною вектора (від початку координат до даної точки) та кутом між віссю абсцис та даним вектором (тригонометрична форма комплексного числа).

Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої користуються формулою:

де і — дійсні числа, причому додатне. У такій формі можна подати довільне комплексне число, відмінне від 0.

(називається модулем числа ) — це відстань між точкою та початком координат.

(називається аргументом числа ) — кут (виражений у радіанах) між правою піввіссю осі абсцис і вищезгаданим вектором, причому кут відраховується проти годинникової стрілки (а в разі руху за стрілкою годинника береться зі знаком «мінус»).

Подання числа у тригонометричній формі єдине з точністю до цілої кількості повних обертів, які можна додавати до аргументу.З використанням формули формули Ейлера можна переписати тригонометричну форму так:

Геометричне представлення зручне для інтерпретації операцій над комплексними числами. Так, додавання та віднімання комплексних чисел рівносильне відповідно додаванню та відніманню відповідних векторів. При множенні комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються (так що поворот навколо початку координат можна інтерпретувати як множення на певне комплексне число з одиничним модулем). При діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. При піднесенні комплексного числа до цілого степеня його модуль підноситься по цього ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня; це правило називається формулою Муавра і значно спрощує виконання піднесення комплексних чисел до великих степенів.