Теорема Лагранжа

Теорема. Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і має похідну на інтервалі (a, b). Тоді існує на інтервалі (a, b) точка c, для якої виконується рівність

Геометричний зміст теореми. Якщо останню рівність записати у вигляді

Y

c

B

A a M

f(a) f(b)

a c b X

то із D АВМ: кутовий коефіцієнт хорди АВ. Згідно теореми існує точка з абсцисою , дотична в якій до графіка буде паралельною хорді.

Якщо покласти у формулі Коші (1) (див. 6.2) (тоді ), то отримаємо

- формулу Лагранжа.

6.4. Правило Лопіталя

Теорема 1. Нехай функції f(x) i j(x) визначенні і мають похідну в околі точки х₀, а в точці х₀ , тоді якщо існує границя , то існує границя ,

причому виконується рівність

Доведення. Функції і задовольняють умовам теореми Коші в околі точки , тому

,

де при , а при .

Отже, якщо , то і , тому

.

В останньому виразі замість змінної можна записати змінну , оскільки границя не залежить від позначення змінної.

За допомогою теореми 1 можна розкривати невизначеність вигляду , причому правило Лопіталя можно застосовувати повторно, якщо в процесі функції і їх похідні задовольняють умовам теореми.

У випадку невизначеності користуються такою теоремою.

Теорема 2. Нехай f i j визначені і мають похідну в околі точки

причому j(х), j¢(х)¹0 в цьому околі, тоді, якщо існує , то існує і

До викладеного додамо, що правило Лопіталя залишається справедливим при .

Зауваження. За допомогою теорем 1 і 2 розкриваються такі невизначеності:

1. і .

2. Невизначеності і за допомогою алгебраїчних перетворень зводяться до вигляду або .
3. Невизначеності і за допомогою логарифмування зводяться до невизначеності .

Далі ці випадки розглянемо на прикладах.