Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема РолляСтр 1 из 8Следующая ⇒
Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі і приймає рівні значення на його кінцях, тобто , то в інтервалі існує хоча б одна точка така, що . Геометрично: знайдеться точка С така, що дотична з цією абсцисою до графіка паралельна осі ОХ (див. рис.39) Y
f(a) f(b) a с1 с2 b X Рис.39 Доведення. Оскільки функція неперервна на , то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого і найбільшого значень. Якщо б ці значення досягались на кінцях відрізка в точках і , то за умовою теореми неперервна і випливало б, що функція - стала і тоді в кожній точці відрізка . Тому припускаємо, що функція досягає свого, наприклад, найбільшого значення у деякій точці (див. рис. 39), . Обчислимо ліву похідну (1) і праву похідну (2) Згідно диференційовності її ліва і права похідні збігаються, тому із співвідношень (1) і (2) випливає, що . З рис. 39 видно, що можливі і інші точки, в яких похідна дорівнює нулю .
6.2. Теорема Коші
Теорема. Якщо функції f(x) i j(x) неперервні на [a, b] і мають похідні в інтервалі (a, b) і j¢(х)¹0 для х є (a, b), то існує точка , така, що має місце співвідношення: (1) Доведення. Розглянемо допоміжну функцію , де число підберемо таким, щоб функція задовольняла теорему Ролля. Із неперервності на функцій і випливає, що теж неперервна. Крім того, із диференційовності і в інтервалі випливає диференційовність . Залишилось знайти число таким, щоб , тобто . (2) Отже, згідно з теоремою Ролля існує точка , така що , тобто . (3) Із рівностей (2) і (3) отримуємо формулу Коші (1).
|