Теорема

Пусть многочлен от действительной переменной с действительными коэффициентами

Многочлен от действительной переменной с действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных множителей, и квадратных с отрицательным дискриминантом.

где

x₁ – корень кратности k₁

x_m – корень кратности k_m

D₁= <0

D_L= <0

k₁+ …+k_m+2(S₁+S_L)=n

Доказательство:

Рассмотри многочлен как многочлен от комплексной переменной

тогда по основной теореме алгебры

где z_i – корень кратности k_i

Если, z_i - действительное число, то скобку - не преобразовываем.

Если

z_j – корень кратности k_j для корень кратности k_j

Разложили многочлен - в произведение линейных множителей и квадратных с D<0. Пусть z=x, получим искомое разложение для .

Рациональные функции.

Рациональная функция – это отношение двух многочленов

- рациональная функция

n≥m – дробь не правильная

n<m – дробь правильная

Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то есть дробь неправильная, то, поделив , можно выделить целую часть, то есть представить в виде сумму многочлена и правильной дроби

Любую правильную дробь можно разложить на простые дроби

(знаменатель) – можно записать в виде произведения линейных множителей и квадратных с D<0.

Исходя из этого будем записывать разложение в простую дробь:

Простые дроби – это дроби у которых в знаменателе либо линейный член, либо квадратичный, с D<0