Методы расчета сложных электрических цепей

Метод наложения (суперпозиции).

Метод наложения основан на применении принципа наложения, который формулируется следующим образом:

Ток в любой ветви линейной электрической цепи равен сумме токов, обусловленных действием каждого источника в отдельности, т.е. при отсутствии других источников.

Рассматриваемый принцип называют принципом независимого действия или принципом суперпозиции.

При действии только одного из источников напряжения предполагается, что напряжения всех остальных источников равны нулю, так же как равны нулю и токи всех источников тока. Отсутствие напряжения на зажимах источников напряжения равносильно короткому замыканию их зажимов. Отсутствие тока в ветви с источником тока равносильно разрыву этой ветви.

Если источник напряжения содержит внутреннее сопротивление, то, полагая напряжение источника равным нулю, следует оставлять в его ветви внутреннее сопротивление. Аналогично в случае источника тока с параллельной внутренней проводимостью, следует, разрывая ветвь источника (т.е. полагая J=0), оставлять включенной параллельную ветвь с внутренним сопротивлением.

Принцип суперпозиции применим к напряжениям, т.к. между током и напряжением рассматривается линейная зависимость (закон Ома); но не применим к мощности, т.к. мощности – это квадратичные функции токов.

Пример. Цепь с двумя источниками напряжения из лабораторной работы № 1.

Входные и передаточные проводимости.

Решение системы уравнений по законам Кирхгофа для линейной цепи, содержащей источники напряжения, имеет вид

(1)

где - коэффициенты, не зависящие от тока.

Структура уравнений (1) соответствует принципу суперпозиций: ток в n-ой ветви равен сумме токов от действия каждого отдельного источника:

Коэффициенты при э.д.с. имеют размерность проводимости.

Коэффициенты с одинаковыми индексами (y₁₁, y₂₂…)называют собственными или входными проводимостями.

Их физический смысл очевиден: они численно равны току ветви при действии единственного источника напряжения, равного 1 вольту, включенному в эту ветвь.

Рис. 1

Входная (собственная) проводимость цепи рис. 5-5

(1,а)

Величину, обратную входной проводимости, называют входным сопротивлением.

Для цепи рис. 5-5

Только для неразветвленной цепи понятие входная проводимость (сопротивление) совпадает с элементарным понятием проводимости (сопротивления).

Коэффициенты с разными индексами (y₁₂, y₁₃ и т.д.) называют передаточными или взаимными проводимостями.

Их физический смысл: передаточная проводимость между ветвью 2 и ветвью 1, т.е. y₂₁, равна току в ветви 2 при действии в ветви 1 источника напряжения, равного 1 В.

Для цепи на рис. 1: . (1, в)

* Из приведенного определения коэффициентов y_nk в сочетании с принципом суперпозиции возможна такая характеристика:

возрастание тока в ветви 2 (или 1) при возрастании напряжения источника E₁ в ветви 1 равно проводимости y₂₁ (или y₁₁), умноженной на приращение напряжения источника E₁:

(2)

Теорема взаимности (обратимости)

Теорема взаимности (обратимости) справедлива для линейных электрических цепей, составленной из двухполюсных электрических элементов.

Если источник э.д.с. k-ой ветви E_k вызывает в ветви «n» ток I_n, то этот же источник э.д.с., будучи включенным в ветвь «n» вызовет в ветви «k» тот же ток I_k=I_n.

Рис. 5-6. Иллюстрация к теореме взаимности.

I_n=E_ky_kn, I_k=E_ny_nk (3)

Данная теорема является следствием симметрии матриц (левых частей) системы уравнений, составленных по методу узловых потенциалов и контурных токов, т.е.:

, (*)

Поскольку Y _kn= Y _nk и E_k=E_n, то I_n=I_k.

Все пассивные линейные электрические цепи обладают свойствами взаимности (обратимости).

Электрические цепи, для которых выполняется условие (*) называются обратимыми цепями.

Использование метода обратимости пассивных линейных электрических цепей в ряде случаев упрощает расчеты.