Колебательном контуре

Рассмотрим подключение источника постоянной ЭДС к последовательной RLC цепи (рис.2.3). В качестве независимой переменной в последовательном контуре выбираем напряжение на емкости u_C(t), так как в этом случае упрощается определение постоянной интегрирования, в параллельном контуре в качестве независимой переменной выбирается ток через индуктивность i_L(t). В линейных цепях 2-го второго порядка начальными условиями являются напряжение на емкости и ток через индуктивность до коммутации. Моменту коммутации ключа соответствует t=0. Величины u_C(0) и i_L(0) находятся из эквивалентной схемы электрической цепи для установившегося режима до коммутации, когда индуктивность представляет собой короткое замыкание, а емкость разрыв цепи. Используя правила последовательного и параллельного соединения сопротивлений и законы Ома и Кирхгоффа, находим i_L(0)=0 (нулевые начальные условия), u_C(0)=E (ненулевые начальные условия). Составим дифференциальное уравнение.

(2.4)

(2.5)

Учитывая, что , запишем

(2.6)

Выражение (2.6) является дифференциальным уравнением II–го порядка. Его решение состоит из суммы свободной и принужденной составляющих:

. (2.7)

Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения:

(2.8)

Для определения составляется характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.8):

. (2.9)

.

Данное выражение получается путем замены каждого дифференциала функции u_c (t) на оператор p. При этом степень дифференцирования равна степени оператора p, следовательно u_c соответствует p₀ = 1.

Также данное уравнение можно получить следующим способом:

Составляется схема после коммутации, в которой все источники ЭДС заменяются коротким замыканием, а все разомкнутые ветви отбрасываются. Далее одна из ветвей полученной электрической цепи разрывается (рекомендуется делать разрыв на месте источника ЭДС) и относительно точек разрыва вычисляется комплексное входное сопротивление. При этом учитывается, что комплексное сопротивление индуктивности , а комплексное сопротивление емкости . Полученное выражение для входного сопротивления цепи приравнивается к нулю, а произведение jω заменяется на оператор p. Находятся корни характеристического
уравнения (2.9).

. (2.10)

Вводятся обозначения – коэффициент затухания, – резонансная частота контура, – частота собственных колебаний контура.

Тогда корни характеристического уравнения выглядят следующим образом:

p_{1, 2}=α±jω_c. (2.11)

Действительная часть корней характеристического уравнения α определяет постоянную времени затухания колебаний контура

, (2.12)

а мнимая часть корней характеристического уравнения период этих колебаний Т=2π/ω_с.

Важным параметром, определяющим характер переходного процесса в колебательных контурах, является добротность

, (2.13)

где – характеристическое сопротивление контура. Используя выражение (2.10) корни характеристического уравнения можно представить в виде

. (2.14)

В зависимости от величины добротности могут быть три варианта корней характеристического уравнения и, соответственно, три вида свободной составляющей переходного процесса

1. , корни действительные и различные, переходной процесс носит апериодический характер ;

2. , корни действительные, равные, переходной процесс носит промежуточный характер ;

3. , корни комплексно-сопряженные, переходной процесс носит колебательный затухающий характер ,

где А₁, А₂, А, Q – постоянные интегрирования, находятся из начальных условий.

Принужденная составляющая решения уравнения (2.7) находится в установившемся режиме из схемы после коммутации, в которой индуктивность заменяется коротким замыканием, а емкость – разрывом цепи.

Так как для схемы, представленной на рис 2.3, после коммутации при источник ЭДС отключается от контура принужденная составляющая U_пр=0 решение дифференциального уравнения (2.7) состоит только из свободной составляющей:

. (2.15)

Рассмотрим случай, когда , тогда корни характеристического уравнения (1.9) вещественные и различные p₁<0, p₂<0

(2.16)

Свободная составляющая для этого случая состоит из двух компонент

. (2.17)

Постоянные интегрирования А₁ и А₂ находим из начальных условий. Для использования начального условия для индуктивности i_L(0)=0 необходимо определить выражение для тока в электрической цепи:

. (2.18)

Подставляя при t=0 начальные условия для u_C(0)=E и i_L(0)=0 получим:

(2.19)

Решая полученную систему уравнений определяем значения постоянных интегрирования:

(2.20)

Тогда напряжение на емкости во время переходного процесса будет описываться выражением

, (2.21)

а ток в контуре

(2.22)

Учитывая, что

, (2.23)

получим

. (2.24)

Используя выражение для тока можно рассчитать u_L:

. (2.25)

Временные диаграммы напряжений и тока в контуре во время переходных процессов для апериодического режима приведены на рис. 2.4.

На интервале происходит разряд конденсатора и заряд индуктивности, далее при конденсатор и индуктивность разряжаются. В течении всего интервала через резистор R протекает ток и запасенная в реактивных элементах энергия постепенно расходуется до нуля. Так как напряжение на конденсаторе при его разряде изменяется монотонно (без колебаний) переходной процесс называют апериодическим.

Рассмотрим случай, когда Q>0.5, тогда корни характеристического уравнения (1.9) комплексно-сопряженные:

, (2.26)

Тогда решение однородного дифференциального уравнения для этого случая записывается в виде:

, (2.27)

где A и Q – постоянные интегрирования, для нахождения которых используются начальные условия u_C(0)=E и i_L(0)=0.

Для использования начального условия для индуктивности i_L(0)=0 необходимо определить выражение для тока в электрической цепи:

(2.28)

Подставляя при t=0 начальные условия для u_C(0)=E и i_L(0)=0 получим:

(2.29)

Решая полученную систему уравнений определяем значения постоянных интегрирования:

. (2.30)

При больших добротностях постоянная интегрирования и приближенно выражения для напряжений и токов во время переходного процесса можно записать в виде:

(2.31)

Временные диаграммы напряжений на реактивных элементах С и L и тока в контуре показаны на рисунке 2.5

В контуре во время переходных процессов имеет место колебательный процесс обмена энергией между емкостью и индуктивностью с частотой . Интервал T=2π/w_c называют квазипериодом колебаний. Перезарядный ток i(t) протекает через сопротивление R и часть энергии, сосредоточенной в реактивных элементах, расходуется, поэтому переходной процесс имеет затухающий характер. Затухание происходит по экспоненциальному закону с коэффициентом затухания . Чем больше сопротивление R, тем больше коэффициент затухания и тем быстрее завершается переходной процесс. При Q<0,5 переходной процесс из колебательного превращается в апериодический. Случай когда Q<0,5 является пограничным между колебательным и апериодическим. Теоретически можно представить себе контур без потерь с , в котором существуют незатухающие колебания с частотой . В контуре без потерь имеет место переменный обмен энергией между С и L при котором энергия электрического поля конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля индуктивности и затем, наоборот. В реальных электрических цепях R>0, поэтому переходной процесс имеет затухающий характер.