Системы тригонометрических уравнений и неравенств

При решении систем тригонометрических уравнений и неравенств используются те же методы, что и при решении систем алгебраических уравнений и неравенств. Прежде всего, это исключение неизвестных и замена неизвестных.

Часто бывает удобнее вместо общих формул, по которым решаются уравнения вида записывать решения этих уравнений в виде совокупности двух систем.

Замечание. Если система тригонометрических уравнений свелась к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений, то при решении каждого из этих элементарных уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение. Разделив левую и правую части первого уравнения системы соответственно на левую и правую части второго уравнения, получим уравнение Заменив этим уравнением второе уравнение системы, получим систему равносильную данной.

Складывая оба уравнения и вычитая из второго первое, получим равносильную систему

или

Из первого уравнения полученной системы находим второе уравнение равносильно совокупности уравнений

Таким образом, решение свелось к решению совокупности двух систем:

Из первой системы совокупности находим семейство решений:

Из второй системы совокупности находим:

Ответ.

Тестовые задания (по 10 баллов)

459. Объедините семейства: и .

460. Объедините семейства: и .

461. Объедините семейства: и .

462. Решить систему уравнений:

463. Решить систему уравнений:

464. Найдите значение выражения если известно, что

465. Решите систему уравнений:

466. Решить систему уравнений:

467. Решите систему неравенств:

468. Решите систему неравенств:

469. Решите систему неравенств:

470. Решите систему неравенств:

471. Решите систему неравенств:

Задачи I уровня (по 20 баллов)

472. Решить систему уравнений:

Решение. Из первого уравнения находим а из второго Получаем систему: Откуда получаем:

Ответ.

473. Найдите значение выражения если известно, что

474. Решить систему уравнений

475. Решить систему уравнений:

476. Решите систему неравенств:

477. Решите систему уравнений:

478. Решите систему уравнений:

479. Решите систему уравнений:

480. Решите систему уравнений:

481. Решите систему уравнений:

482. Решите систему уравнений:

483. Решите систему уравнений:

484. Решите систему уравнений:

485. Решите систему уравнений:

486. Решите систему уравнений:

487. Решите систему уравнений:

488. Решите систему уравнений:

489. Решите систему уравнений:

490. Решите систему уравнений:

491. Решите систему уравнений:

492. Решите систему уравнений:

493. Решите систему уравнений:

494. Решите систему уравнений:

495. Решите систему уравнений:

496. Решите систему уравнений:

497. Решите систему уравнений:

Задачи II уровня (по 30 баллов)

498. Решите систему уравнений

499. Решите систему уравнений:

500. Решите систему уравнений:

501. Решите систему уравнений:

502. Решите систему уравнений:

503. Решите систему уравнений:

504. Решите систему уравнений:

505. Решите систему уравнений:

506. Решите систему уравнений:

507. Решите систему уравнений:

508. Решите систему уравнений:

509. Решите систему уравнений:

Задачи III уровня (по 40 баллов)

510. Найдите решения системы уравнений , удовлетворяющие условиям: .

511. Решите систему неравенств

512. Найдите решения системы