Тригонометрические уравнения. 3.1. Простейшие тригонометрические уравнения. Общие формулы решений простейших тригонометрических уравнений

3.1. Простейшие тригонометрические уравнения.

Общие формулы решений простейших тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений некоторых частных видов:

Уравнение

Методы решения тригонометрических уравнений:

· метод разложения на множители;

· метод введения новой переменной:

а) однородные уравнения.

Метод введения новой переменной используется при решении однородных уравнений, то есть уравнений вида:

где одновременно, – однородное уравнение 1-ой степени; где одновременно, – однородное уравнение 2-ой степени; где одновременно, – однородное уравнение 3-ой степени и т.д.

В случае делим обе части первого уравнения на , второго – на , третьего – на , и т.д. В результате получим уравнения относительно решаемые подстановкой При однородному уравнению не удовлетворяют значения при которых Поэтому деление на однородного уравнения в случае не приводит к потере корней.

б) уравнения, сводимые к квадратным уравнениям.

Если уравнение имеет вид: или то подстановка

Если уравнение имеет вид: или то подстановка

в) универсальная тригонометрическая подстановка.

Если то подстановка , называемая универсальной, используется для уравнения вида , где рациональное выражение относительно и ; при этом:

Поскольку использование универсальной подстановки возможно лишь при условии то нужно проверить, не являются ли числа вида решениями заданного уравнения.

· метод введения вспомогательного аргумента.

Уравнение вида где , преобразуется следующим образом: . Так как точка с координатами и лежит на единичной окружности (), то существует, так называемый, вспомогательный аргумент , такой, что Исходное уравнение примет вид: .

Тестовые задания (по 10 баллов)

233. Решить уравнение

234. Решить уравнение

235. Решить уравнение

236. Решите уравнение

237. Решите уравнение

238. Решить уравнение

239. Решить уравнение

240. Решить уравнение

241. Найдите наименьший корень уравнения

на промежутке (1; 3).

242. Решить уравнение

243. Решить уравнение

244. Решите уравнение .

245. Решить уравнение

246. Решить уравнение

247. Решить уравнение

248. Решить уравнение

249. Решить уравнение

Задачи I уровня (по 20 баллов)

250. Решите уравнение

251. Решите уравнение

252. Решите уравнение

253. Решите уравнение

254. Решите уравнение

255. Решите уравнение

256. Решите уравнение

257. Решите уравнение

258. Решите уравнение

259. Решите уравнение

260. Решите уравнение

261. Решите уравнение

262. Решите уравнение

263. Решите уравнение

264. Решить уравнение

265. Решите уравнение

266. Решите уравнение В ответе укажите те , которые удовлетворяют двойному неравенству

267. Решите уравнение

268. Решить уравнение

269. Решить уравнение

270. Решить уравнение

Решение. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары. (В данном случае любой способ группировки приводит к цели). Применяя формулу , получаем:

Возникают три случая:

1)

2)

3)

Так как вторая серия включает в себя первую, получаем ответ.

Ответ.

271. Решить уравнение

272. Решить уравнение

273. Решить уравнение

274. Решить уравнение

275. Решить уравнение

276. Решить уравнение

277. Решить уравнение

278. Решить уравнение

279. Решить уравнение

280. Решить уравнение

281. Решите уравнение

282. Решите уравнение

283. Решите уравнение

284. Решите уравнение .

285. Решите уравнение .

286. Решите уравнение .

287. Решите уравнение

288. Решите уравнение

289. Решите уравнение

290. Решите уравнение

291. Решите уравнение

292. Решите уравнение

293. Найдите наименьший положительный корень уравнения

294. Решите уравнение

295. Решите уравнение

296. Решить уравнение

Решение. При решении данного уравнения используем схему, состоящую из двух этапов. На первом произведения преобразуются в суммы. На втором, наоборот, суммы преобразуются в произведения.

.

1) 2)

Ответ.

Задачи II уровня (по 30 баллов)

297. Решите уравнение

298. Решите уравнение

299. Решите уравнение

300. Решите уравнение

301. Решите уравнение .

302. Решите уравнение

303. Решите уравнение

304. Решите уравнение

305. Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

306. Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

307. Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

308. Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

309. Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

310. Решите уравнение В ответе укажите корни, принадлежащие отрезку

311. Решите уравнение В ответе укажите корни, принадлежащие отрезку

312. Решите уравнение В ответе укажите корни, принадлежащие отрезку

313. Решите уравнение В ответе укажите корни, принадлежащие отрезку

314. Решите уравнение В ответе укажите корни, принадлежащие отрезку

315. Решите уравнение

316. Решите уравнение

317. Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

318. Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

319. Решите уравнение В ответе укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

320. Найдите сумму всех корней уравнения

321. Найдите сумму всех корней уравнения

322. Решите уравнение В ответе укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

323. Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

324. Решите уравнение В ответе укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

325. Решите уравнение В ответе укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

326. Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

327. Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

328. Решите уравнение В ответе укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

329. Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

330. Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

331. Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

332. Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

333. Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

334. Найдите корни уравнения , удовлетворяющие неравенству .

335. Дан треугольник, каждый из углов которого удовлетворяет уравнению . Показать, что треугольник равносторонний.

336. Показать, что уравнение не имеет корней.

337. Найдите все значения , при каждом из которых выражения и принимают равные значения.

338. Найдите все значения , при каждом из которых выражения и принимают равные значения.

339. Решите уравнение .

340. Решите уравнение .

341. Решите уравнение .

342. Решите уравнение .

343. Решите уравнение .

344. Решите уравнение .

345. Решите уравнение: .

346. Решите уравнение: .

347. Решите уравнение: .

348. Решите уравнение: .

349. Решите уравнение: .

350. Решите уравнение: .

351. Решите уравнение: .

352. Решите уравнение

Решение. Преобразуем левую часть:

где

Заменим на получаем:

Возникли два случая:

1)

2)

Ответ. , , .

353. Решить уравнение

Решение. По определению обратных тригонометрических функций Найдем Эта задача сводится к следующей: найти если и

Поскольку то

Получаем уравнение откуда Решая его, находим: Второе значение для не подходит, так как

Замечание. Данное уравнение можно решать иначе. Обозначим левую и правую части данного уравнения через Тогда Для имеем тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному относительно

По смыслу задачи следовательно, значит,

Ответ.

354. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде Если равны углы, то равны и тригонометрические функции от них. (Обратное неверно.) Осталось удачно выбрать эту функцию. Понятно, что выбирать нужно между синусом и косинусом. В данном случае предпочтительнее оказывается косинус. Убедимся в этом на практике.

Итак, имеем

Поскольку то получаем уравнение Это уравнение имеет единственный корень (два других корня, получающиеся при возведении в квадрат данного –посторонние).

Ответ.

355. Решить уравнение

Решение. Возьмем синус от обеих частей уравнения, получим уравнение являющееся следствием данного уравнения. Далее получаем:

откуда .

Проверка. Выполним ее подстановкой. Получаем: Таким образом, корень уравнения. Далее, Таким образом, посторонний корень.

Ответ.

356. Решить уравнение

Решение. Возьмем косинус от обеих частей уравнения, получим откуда то есть

Проверка. Положим Тогда

откуда то есть

Так как далее и то и Но тогда то есть I четверти.

Итак, и но в таком случае а значит, корень уравнения.

Проверим теперь значение Положим тогда Так как и то или Значит откуда следует, что посторонний корень.

Ответ.

357. Решить уравнение

358. Решить уравнение

359. Решить уравнение

360. Решите уравнение

361. Решите уравнение

362. Решить уравнение

363. Решите уравнение .

364. Решите уравнение .

365. Решите уравнение .

366. Решите уравнение

367. Решите уравнение

368. Решить уравнение

369. Решить уравнение

370. Решить уравнение

371. Решить уравнение

372. Решить уравнение

373. Решите уравнение

374. Решите уравнение

Задачи III уровня (по 40 баллов)

375. Решите уравнение

376. Решите уравнение

377. Решите уравнение

378. Решите уравнение

379. Найти число корней уравнения

380. Решить уравнение

Решение. Поскольку то левая часть не превосходит 3 и равна 3, если

Для нахождения значений , удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них. Затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

Начнем со второго уравнения:

Тогда

Понятно, что лишь для четных k будет

Ответ. ,

381. Решить уравнение

382. Решить уравнение

Решение. Поскольку то из этого равенства следует, что

Применим это неравенство к первым двум слагаемым в левой части нашего уравнения и, учитывая, что получим: вся левая часть не превосходит 7.

Для того, чтобы выполнялось равенство, необходимо, чтобы Последние два уравнения несовместимы. (Докажите!) Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ. Ø

383. Решить уравнение

Решение. Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трехчлен относительно Пусть дискриминант этого трехчлена:

Из неравенства следует или Значит возникают две возможности: и

Если , то из уравнения следует, что и откуда Эти значения удовлетворяют уравнению

Если то из уравнения находим Эти значения также удовлетворяют уравнению.

Ответ.

384. Решить уравнение

385. Решить уравнение

386. Решить уравнение

387. Решить уравнение

388. Решить уравнение

389. Решить уравнение

390. Решить уравнение

391. Решить уравнение

392. Решить уравнение

393. Решить уравнение ( и натуральные числа, хотя бы одно из которых больше единицы).

394. Решить уравнение ( и целые положительные числа).

395. Найдите общие корни уравнений

396. Найдите все корни уравнения при подстановке каждого из которых в уравнение получится уравнение относительно , имеющее более одного корня.