Определение тригонометрических функций. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

1.1. Числовая окружность.

Рассмотрим окружность единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат на координатной плоскости. Будем считать, что точкой отсчета на этой окружности является точка А – точка пересечения окружности с положительным направлением оси абсцисс.

Любому действительному числу α можно поставить в соответствие точку М(α) такую, что дуга с началом в точке отсчета и концом в точке М по величине будет равна действительному числу α. Причем, если движение от начала отсчета до точки М происходит против часовой стрелки, то направление положительное; по часовой стрелке – отрицательное.

Количество дуг, начало которых совпадает с точкой А, а конец – с точкой М, бесконечно; причем все они отличаются друг от друга по величине на число, кратное 2π, где 2π – полный оборот по окружности. Среди этих дуг можно всегда выбрать кратчайшую, тогда величины этих дуг можно записать следующим образом: x+ 2π k, k – любое целое число, а x – величина кратчайшей дуги.

Числовой окружностью называется единичная окружность с выбранной на ней точкой отсчета и положительным направлением обхода.

Наглядно можно представить этот процесс следующим образом: множество действительных чисел R однозначно отображается на числовую прямую, а числовая прямая, в свою очередь, «наматывается» на числовую окружность так, что начало отсчета числовой прямой совпадает с началом отсчета самой числовой окружности; положительное направление числовой прямой «наматывается» на числовую окружность против часовой стрелки, а отрицательное – по часовой стрелке.

1.2. Определение тригонометрических функций с использованием числовой окружности.

Пусть на числовой окружности задана некоторая точка М.

Синусом подвижной точки числовой окружности будем называть ординату этой точки, а абсциссу точки будем называть косинусом.

Обозначение: sinα, cosα.

tgα=sinα/cosα, cosα≠0, α≠π/2+πk,

ctgα=cosα/sinα, α≠πn,

secα=1/cosα, α≠π/2+πk,

cosecα=1/sinα, α≠πn.

1.3. Определение тригонометрических функций с использованием прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом α (0< α < π/2). (гипотенуза – с, прилежащий катет – b, противолежащий катет – a).

1. Синусом острого угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: .

2. Косинусом острого угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: .

3. Тангенсом острого угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему: .

4. Котангенсом острого угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .

5. Секансом острого угла α называется отношение гипотенузы к прилежащему катету: .

6. Косекансом острого угла α называется отношение гипотенузы к противолежащему катету: .

1.4. Градусная и радианная мера углов.

Каждой дуге числовой окружности можно поставить в соответствие центральный угол, опирающийся на эту дугу. Поэтому тригонометрические функции можно рассматривать не только от числового аргумента, но и от углового. Углы измеряются в градусах и радианах.

Замечание. Тригонометрические функции от числового аргумента соответствуют тригонометрическим функциям от углового аргумента, выраженного в радианах, т.е. эти величины равнозначны.

Центральный угол, величина которого равна 1 радиану, есть угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

1 радиан = 180˚/π ≈ 57˚.

1.5. Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

функция
sinα
cosα
tgα
ctgα
secα
cosecα

1.6. Знаки тригонометрических функций

1.7. Линия тангенсов и котангенсов

Очень часто для решения уравнений и неравенств целесообразно воспользоваться геометрической интерпретацией – линией тангенсов и котангенсов.

Рассмотрим прямую l, параллельную оси Оу и проходящую через точку (1;0). Выберем на тригонометрическом круге точку М(α), причем cosα≠0. Через точки О и М проведем прямую до пересечения с l в точке К. Так как прямая ОМ проходит через начало координат, то общий вид уравнения прямой: y=kx, где k=tgα. Рассмотрим точку К: абсцисса точки К равна 1 (т.к. точка К принадлежит прямой l), следовательно, ордината точки М равна tgα. Так как точка М выбрана произвольно, то прямая l будет образовывать, так называемую, линию тангенсов.

Рассмотрим прямую l, параллельную оси Оx и проходящую через точку (0;1). Выберем на тригонометрическом круге точку М(α), причем sinα≠0. Через точки О и М проведем прямую до пересечения с l в точке К. Так как прямая ОМ проходит через начало координат, то общий вид уравнения прямой: y=kx, где k=tgα. Рассмотрим точку К: ордината точки К равна 1 (т.к. точка К принадлежит прямой l), следовательно, абсцисса точки М равна ctgα. Так как точка М выбрана произвольно, то прямая l будет образовывать, так называемую, линию котангенсов.

1.8. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

1.9. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.

1.10. Формулы двойных и тройных аргументов.

1.11. Формулы половинного аргумента.

1.12. Формулы приведения.

Функция	Аргумент

Для облегчения запоминания формул приведения можно применить следующее правило:

1. Если значение угла содержит или , то название функции сохраняется, а если значение угла содержит или , то функции синус, косинус, тангенс и котангенс меняются соответственно на косинус, синус, котангенс и тангенс.

2. Считая угол острым, определяют, какой четверти принадлежит исходный угол, и перед полученной функцией ставят такой знак, какой знак имеет заданная функция в этой четверти.

1.13. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

1.14. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Пример 1. Упростите выражение

Решение. Используя четность функции , и нечетность функций и , получаем:

Применяя затем формулы приведения, получаем:

Пример 2. Докажите равенство

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части следующим образом:

.

Если полученное выражение умножить и разделить на и использовать формулу , то получаем:

. Равенство доказано.

Пример 3. Докажите неравенство: , если

Решение. Используем неравенство Коши, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел: Пусть: , , тогда получаем:

, откуда , что и требовалось доказать.

Тестовые задания (по 10 баллов)

1. Радианная мера угла, равного 10˚, равна ______.

2. Радианная мера угла, равного 1', равна _______.

3. Длина дуги сектора вдвое меньше его периметра. Найти радианную меру угла сектора.

4. Определите знак числа .

5. Определите знак числа .

6. Определите знак числа .

7. Каким четвертям должен принадлежать аргумент , если .

8. Каким четвертям должен принадлежать аргумент , если .

9. Каким четвертям должен принадлежать аргумент , если .

10. Каким четвертям должен принадлежать аргумент , если .

11. В треугольнике АВС угол С равен 90˚, Найдите АВ.

12. Найдите если и

13. Найдите если и

14. Найдите значение выражения если

15. Найдите если

16. Найдите если , и углы и лежат в первой четверти.

17. Упростите выражение:

18. Вычислите если и

19. Вычислите если и

20. Доказать тождество:

21. Найдите значения остальных пяти тригонометрических функций, если

Задачи I уровня (по 20 баллов)

22. Найти радианную меру дуги окружности, радиус которой равен 12 см, если длина дуги равна: а) 4 см; б) 4 дм; в) 4 мм.

23. Упростить выражение:

24. Вычислить числовое значение выражения:

25. Вычислить числовое значение выражения:

26. Найдите , если .

27. Найдите , если .

28. Вычислить , если

29. Известно, что Найдите .

30. Проверить, что при справедливо равенство:

31. Упростить:

32. Доказать тождество:

33. Упростите выражение:

34. Доказать тождество:

35. Упростить выражение:

36. Вычислить, не пользуясь калькулятором:

37. Найти значение выражения:

38. Если и то выражение равно______.

39. Если и то выражение равно______.

40. Найдите если , и углы и лежат в первой четверти.

41. Докажите тождество:

42. Докажите, что функция есть константа, то есть не зависит от Найдите значение этой функции.

43. Докажите справедливость равенства:

44. Докажите справедливость равенства:

45. Вычислить

46. Известно, что Найдите

47. Найдите если

48. Доказать тождество

49. Упростите выражение .

50. Упростите выражение .

51. Упростите выражение .

52. Упростите выражение: .

53. Докажите тождество: .

54. Упростите выражение: .

55. Упростите выражение: .

56. Докажите тождество: .

Задачи II уровня (по 30 баллов)

57. Построить график функции

58. Построить график функции

59. Вычислить

60. Вычислить

61. Вычислить .

62. Вычислить .

63. Докажите, что если , и углы и лежат в первой четверти.

64. Вычислить

65. Вычислить

66. Вычислить

67. Вычислить

68. Упростите выражение: .

69. Докажите тождество: .

70. Упростите выражение: .

71. Упростите выражение: .

72. Докажите тождество:

73. Упростите выражение:

74. Докажите тождество: .

75. Упростите выражение: .

76. Докажите тождество: .

77. Упростите выражение: .

78. Докажите тождество: .

79. Докажите тождество: .

80. Упростите выражение: .

81. Докажите тождество:

82. Вычислить

83. Вычислить

84. Вычислить

85. Вычислить

86. Вычислить

87. Вычислить

88. Доказать равенство:

89. Доказать равенство:

90. Доказать равенство:

Задачи III уровня (по 40 баллов)

91. Построить график функции

92. Построить график функции

93. Построить график функции

94. Построить график функции

95. Построить график функции

96. Построить график функции

97. Построить график функции

98. Построить график функции

99. Построить график функции

100. Построить график функции

101. Построить график функции

102. Построить график функции

103. Построить график функции

104. Построить график функции

105. Построить график функции

106. Доказать равенство:

Решение. Умножим обе части равенства на Начнем постепенно «сворачивать» левую часть. Пара заменится на Появилась новая пара которую заменим на

Далее,

И наконец,

Таким образом, Осталось доказать, что или, так как что

Умножая обе части на аналогично предыдущему будем иметь: или или

Что и требовалось доказать.

107. Доказать, что если углы треугольника, то

Решение. Используя формулу а также формулы приведения и сложения, получаем:

откуда следует требуемое равенство.

108. Докажите, что

109. Докажите, что

110. Докажите тождество:

111. Построить график функции

112. Построить график функции

113. Докажите, что

114. Докажите, что

115. Докажите, что

116. Доказать, что если то

117. Доказать, что если углы треугольника, то

118. Докажите тождество:

sinα + sinβ + sinγ = , если α + β + γ = π.

119. Докажите тождество: , если 0 < α < π.

120. Доказать неравенство: , если .

121. Доказать неравенство: .

122. Доказать неравенство: , если .