Усеченное нормальное распределение

Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа.

Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки достигается при Т ≥ 3 S.

При малых значениях Т и большом S может возникать ситуация, когда функция f (t) «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рисунок 4.7).

Рис. 4.7 Функция плотности вероятности усеченного нормального распределения

Таким образом, нормальное распределение, являясь общим случаем распределения случайной величины в диапазоне (– ∞; +∞), лишь в частности (при определенных условиях) может быть использовано для моделей надёжности.

В общем случае усечение может быть:

левым – (0; +∞);

двусторонним – (t ₁, t ₂).

Для рассмотрения количественных характеристик надёжности при усеченном нормальном распределении вводится нормирующий множитель, чтобы сохранить условие нормирования плотности вероятности:

, (4.19)

где

, (4.20)

откуда

переходя от случайной величины Т = { t } к величине X = { x }:

x ₂ = (t ₂ –Т) /S, x ₁ = (t ₁ – Т) /S,

откуда:

где Ф (х) – интеграл Лапласа

Усеченный нормальный закон распределения применяется для описания постепенных отказов объектов, что характерно для «стареющих» объектов.

Поскольку [ Ф (x ₂) –Ф (x ₁)] < 1, то c > 1, поэтому f ₁(t) > f ₂(t). Здесь f ₁(t) – функция плотности распределения отказов для нормального закона распределения, f ₂(t) – функция плотности распределения отказов для усеченного нормального закона распределения. Кривая f ₁(t) выше, чем f ₂(t), так как площади под кривыми f ₁(t) и f ₂(t) одинаковы и равны 1 (рис. 4.8):

(с погрешностью ≤ 1%)

Контрольные вопросы

1 Почему распределение Гаусса называется нормальным?

2 Поясните на изменении кривой плотности распределения отказов влияние параметров распределения: математического ожидания и дисперсии.

3 При каких условиях правильно использовать классическое нормальное распределение, а при каких – усечённое нормальное распределение?