Электромагнитные волны

8.1 Уравнения Максвелла

В середине 19-го века Максвеллом была завершена те-ория электромагнитного поля. Было выяснено, что элект-рическое и магнитное поле являются проявлениями еди-ного электромагнитного поля. Электромагнитное поле в неподвижных средах описываются так называемыми фун-даментальными уравнениями Максвелла.

В дифференциальном виде уравнения Максвелла выглядят следующим образом:

,

,

(8.1)

,

,

где – вектор напряженности электрического поля;

– вектор индукции магнитного поля;

– вектор электрического смещения;

– объемная плотность сторонних зарядов;

– вектор напряженности магнитного поля;

– вектор плотности токов проводимости;

Используемое в системе (8.1) обозначение – это опе-ратор Гамильтона (набла). В декартовых координатах оператор Гамильтона равен:

. (8.2)

В системе (8.1) и – дивергенции векторов и соответственно. Рассчитывается как скалярное произ-ведение оператора (набла) на вектор. В декартовых коор-динатах указанные дивергенции равны:

, (8.3)

(8.4)

В системе (8.1) и представляют собой роторы векторов и соответственно. Рассчитываются как векторное произведение набла-оператора на вектор. В декартовых координатах роторы векторов рассчитывают-ся как определители 3-го порядка:

, (8.5)

. (8.6)

Подробней об уравнениях Максвелла. Первая пара урав-нений говорит о том, что электрическое поле может воз-никнуть по двум причинам. Во-первых, его источником являются электрические заряды, как сторонние так свя-занные. Во-вторых, поле образуется всегда, когда ме-няется во времени магнитное поле (выражение закона электромагнитной индукции Фарадея).

Вторая пара уравнений говорит о том, что магнитное поле может возбуждаться либо движущимися электри-ческими зарядами (электрическими токами), либо пере-менными электрическими полями, либо и тем и другим одновременно. Никаких источников магнитного поля, по-добных источникам электрического поля, не существует, что следует из уравнения .

Фундаментальные уравнения Максвелла (8.1) еще не составляют полной системы уравнений электромагнитно-го поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по известным распределениям зарядов и токов. По-этому уравнения Максвелла дополняются материальными уравнениями, отражающими свойства конкретной среды.

В упрощенном виде, для медленно изменяющихся по-лей, для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлек-триков и ферромагнетиков, материальные уравнения име-ют вид:

, (8.7)

, (8.8)

, (8.9)

где – диэлектрическая проницаемость среды;

– магнитная проницаемость среды;

– электропроводимость среды;

– напряженность поля сторонних сил, обусловленных химическими или тепловыми процессами.

8.2 Уравнение электромагнитной волны

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о су-ществовании принципиально нового физического явле-ния: электромагнитное поле может существовать само-стоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния (возмущение поля) обяза-тельно носит волновой характер. Поля такого рода назы-ваются электромагнитными волнами. Получим уравне-ния такого возмущения.

Рассмотрим однородную нейтральную непроводящую среду где выполняются материальные уравнения (8.7) – (8.9). Поскольку в данном случае плотность зарядов и токов равны нулю ( и ), то уравнения Макс-велла будут иметь вид:

,

,

(8.10)

,

,

Поскольку любые волновые процессы должны подчи-няться волновому уравнению, связывающему вторые про-изводные по времени и координатам, попытаемся прийти к нему с помощью уравнений Максвелла.

Для этого продифференцируем уравнение по времени и используем уравнение для того, чтобы связать производные по времени и по координатам в одном уравнении. Кроме того, приведем полученные уравнения к одному аргументу – вектору .

1. Возьмем уравнение и, учтя (8.7), полу-чим:

(8.11)

Продифференцируем полученное уравнение по врем-ени:

(8.12)

Итак, мы получили вторую частную производную по времени.

2. Получим из того же уравнения вторую частную про-изводную по направлению.Воспользовавшись тем, что мы можем менять местами операции дифференцирования, за-пишем:

(8.13)

Поскольку из (8.8) следует, что:

, (8.14)

то (8.13) приходит к следующему виду:

. (8.15)

А поскольку , то получаем уравнение для второй частной производной по направлению:

. (8.16)

Итак, мы получили следующую зависимость между частными производными:

. (8.17)

Двойное векторное произведение в (8.17) преобразуем согласно правилу «бац минус цаб»:

. (8.18)

Получим:

. (8.19)

Поскольку дивергенция вектора напряженности элект-рического поля (по второму уравнению системы (8.10) и по уравнению(8.7)) равна нулю (), то окончатель-но получаем:

, (8.20)

где – оператор Лапласа. В декартовых координатах:

Таким образом, получаем волновое уравнение для век-тора напряженности электрического поля :

. (8.21)

Аналогично можно получить и волновое уравнение для вектора напряженности магнитного поля :

. (8.22)

Итак, мы пришли к идентичным волновым уравнениям для векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля :

, (8.23)

. (8.24)

Исходя из сравнения полученных уравнений с общим волновым уравнением (5.79) видно, что коэффициент при вторых производных по времени есть не что иное как ве-личина, обратная квадрату скорости распространения волны. Следовательно, можно записать для скорости электромагнитной волны в веществе:

(8.25)

В вакууме, где и скорость волны будет рав-на скорости света в вакууме:

(8.26)

Тогда скорость волны в веществе с учетом скорости волны в вакууме будет равна:

(8.27)

Экспериментальные данные полностью подтведили те-оретические выводы относительно совпадения скорости электромагнитной волны и скорости распространения све-та в вакууме. Это позволило Максвеллу предположить, что свет представляет собой электромагнитные волны.

8.3 Плоская электромагнитная волна

Пусть в положительном направлении оси X распрос-траняется плоская электромагнитная волна. В этом случае волновые поверхности располагаются перпендику-лярно оси X. Рассмотрим поведение вектора на основе второго уравнения системы (8.10):

. (8.28)

Разделив (8.28) на постоянные и учтя (8.3), получим:

. (8.29)

Поскольку волна плоская, то, если зафиксировать вол-новую поверхность в какой-то момент времени, окажется, что всех точках волновой поверхности напряженность электрического поля постоянна, а это значит, что:

, (8.30)

и

. (8.31)

Оставшееся слагаемое уравнения (8.29) также равно нулю:

, (8.32)

что возможно, если проекция не зависит от коорди-наты. В электромагнитной волне напряженность электри-ческого поля меняется со временем, и равенство нулю производных вектора по осям говорит о наличии пос-тоянного электростатического поля, не связанного с рас-пространением волны, или об отсутствии такого электро-статического поля. Вектор , связанный с прохождением электромагнитной волны, располагается перпендикуляр-но оси X, т.е. направлению распространения волны.

Проводя аналогичные рассуждения, из четвертого уравнения системы (8.10):

, (8.33)

можно сделать вывод, что вектор напряженности магнит-ного поля также перпендикулярен направлению рас-пространения электромагнитной волны:

. (8.34)

Таким образом, электромагнитная волна является по-перечной, что подтверждается соответствующими экспе-риментами.

Выясним, как векторы и ориентированы друг от-носительно друга в электромагнитной волне. Для этого возьмем первое уравнение системы (8.10):

, (8.35)

и представим обе его части в более удобном для анализа виде:

, (8.36)

. (8.37)

Из сопоставления слагаемых (8.36) и (8.37) видно, что:

, (8.38)

, (8.39)

. (8.40)

Таким образом, уравнение (8.35) распадается на три уравнения, которые, с учетом (8.8) могут быть представ-лены в виде:

, (8.41)

, (8.42)

. (8.43)

Поскольку изменения полей по осям Y и Z нет, то соот-ветствующие дифференциалы равны нулю, остается толь-ко изменение полей по оси X. Это позволяет упростить уравнения (8.41) – (8.43) и, с добавлением (8.32) по-лучить систему уравнений, описывающих связь между проекциями векторов напряженности электрического и магнитного полей на оси:

,

,

(8.43)

,

.

Проведя аналогичные рассуждения, из третьего урав-нения системы (8.10):

, (8.44)

с добавлением уравнения (8.34) получаем следующую систему уравнений:

,

,

(8.45)

,

.

Для прояснения картины из систем (8.43) и (8.45) возьмем уравнения, содержащие проекции векторов и на оси и :

, (8.46)

, (8.47)

, (8.48)

. (8.49)

Уравнения (8.46) и (8.47) связывают проекции и , а уравнения (8.48) и (8.49) – и . Разберем подробней. Предположим, что первоначально было созда-но переменное электрическое поле , направленное вдоль оси . Согласно уравнению (8.47) оно создаст магнитное поле , направленное вдоль оси . Согласно урав-нению (8.46) поле создаст электрическое поле , и так далее. Ни поле ни поле при этом не возникают.

Аналогично, если первоначально было создано поле , то по уравнению (8.49) создается поле , которое, согласно уравнению (8.48) создаст поле . В этом слу-чае не возникают поля и . Это означает, что век-тора и взаимно перпендикулярны.

8.4 Связь мгновенных значений и

Пусть в положительном направлении оси X распрос-траняется гармоническая волна, причем вектор колеб-лется вдоль оси Y:

. (8.50)

Найдем связь между мгновенными значениями элект-рической и магнитной компоненты электромагнитной волны. Для этого продифференцируем по и по , после чего, используя уравнения (8.46) и (8.47), прост-ранственное изменение интересующих нас компонент с пространственным, а временнóе – с временным.

Продифференцируем (8.50) по координате , и, учтя (8.46), запишем:

(8.51)

Теперь продифференцируем (8.50) по времени, и, с учетом (8.47), получим:

(8.52)

Из уравнения (8.51) с учетом связи волнового числа и скорости распространения волны (7.7), получим:

, (8.53)

, (8.54)

где – фазовая скорость распространения волны.

Из (8.52) получим:

, (8.55)

(8.56)

Теперь, сопоставляя уравнения (8.53) и (8.55), полу-чим связь между пространственным изменением электри-ческой и магнитной компоненты электромагнитной вол-ны:

(8.57)

Учитывая уравнение (8.25), описывающее фазовую ско-рость распространения электромагнитной волны, после преобразований, из (8.57) получим:

, (8.58)

откуда следует, что:

, (8.59)

где произвольная постоянная обусловлена наличием пос-тоянного электрического и магнитного полей. Нас же ин-тересует только переменное поле, когда . В этом случае мы получим:

. (8.60)

Полученное выражение означает, что векторы и не только взаимно ортогональны, но и составляют пра-вовинтовую систему с направлением распространения (рис.8.1).

Поскольку векторы в электромагнитной волне пред-ставляют собой правовинтовую систему, то связь между компонентами электромагнитной волны и направлением ее распространения можно записать следующим образом (в вакууме):

, (8.61)

где – орт направления распространения волны.

Рассмотрим, как изменяются электрическая и магнитная компонента во времени. Из уравнений (8.54) и (8.56) получим:

(8.62)

Из (8.62) видно, что и изменяются синфазно: в каждый момент времени и одинаковы в по знаку, одновременно превращаются в нуль и одновременно дос-тигают максимума. Вид электромагнитной волны в фик-сированный момент времени показан на рис. 8.2.