Вращающийся Aвектор, равный сумме векторов A1 иA2 , изображающих соответственногармонические колебания1 - го грузикаотносительно 2- го грузикаи гармонические колебания 4 page

"-" знак.

Волна называется сферической, если её волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны. Сферические волны возбуждаются в однородной изотропной среде уединенным точечным источником. Уравнение расходящейся сферической волны, т.е. зависимость s=s(t) отклонений частиц упругой среды от положения равновесия в произвольный момент t времени в функции r радиуса сферической волновой поверхности в этой упругой среде имеет следующий вид: s = (A₀/r)cos(ωt - kr + φ₀), (2.76) где A₀/r - амплитуда колебаний частиц упругой среды, уменьшающаяся при удалении на r расстояние от центра источника или возбудителя сферической волны; A₀ - физическая величина, численно равная амплитуде волны на единичном расстоянии от её центра; φ₀ - начальная фаза колебаний в центре волны, а Ф = ωt - kr + φ₀ - фаза сферической волны.

Звуковые волны в газах.

Звуковая волна в газе представляет собой распространяющуюся, например (рис.02.0.18) в трубе квадратного сечения, последовательность чередующихся областей сжатия и расширения газа, т.е. продольную волну. Поэтому давление в каждой точке пространства испытывает периодически изменяющееся ΔP отклонение от P среднего значения, совпадающего с давлением, которое существует в газе в отсутствие волн.

Мгновенное P^′ значение давления в некоторой точке пространства имеет следующий вид: P^′ = P + ΔP. (2.77) Вследствие колебаний c (2.3) T = 2π/ω периодом гармонических колебаний (рис.2.18) внешнего И источника звука,например, мембраны,в длинном параллелипипеде V₁ объем газа, находящийся между сечениями газа с y₀, y₁ координатами, в интервал (рис.02.0.19) времени от 0 до T/4 испытывает сжатие (штриховка), вследствие чего область газа c y₀ координатой и S площадью поперечного сечения переместится в y₀ + s_m положение, т.е. в положение своего максимального отклонения от положения равновесия и одновременно в этой области газа между сечениями газа с y₀, y₁ координатами и S площадью поперечного сечения давление (2.77)достигнет своего P^′_max максимального значения.

Молекулы газа, приблизившись друг к другу,после T/4 момента времени начнут отталкиваться друг от друга, вследствие чего V₁ объем газа в интервал времени от T/4 до T/2 испытывает растяжение (штриховка) и приведет из-за наличия упругих сил к сжатию (штриховка) соседнего V₂ объёма, находящегося между сечениями газа с y₁, y₂ координатами и т.д.

К моменту T времени сжатие газа дойдёт до сечения с y₄ координатой. К этому же

T времени в сечении газ с y₀ координатой примет (рис.02.0.19) первоначальное состояние, какое он имел в момент t₀ = 0 времени, т.е. фаза колебаний частиц упругой среды в сечении с y₀ координатой будет опережать по фазе колебания частиц упругой среды в сечении с y₄ координатой на угол 2π. Согласно определению λ длины волны, по которому λ длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками упругой среды, в которых разность фаз колебаний равна 2π, расстояние между сечениями газа с y₁, y₄ координатами (рис.02.0.19) равно λ длине волны. Это λ расстояние продольная волна сжатия и расширения газа пройдет за T время с (2.68) фазовой v скоростью распространения волны в направлении k волнового вектора, перпендикулярного плоской волновой поверхности S площадью (рис. 02.0.18) поперечного сечения области газа.

Пусть в произвольный момент t времени (рис. 02.0.18) в сечении с y_n координатой V_n объём газа испытывает расширение на ΔV величину, вследствие чего его правая грань

- (|F ^' _{yn+ Δs}| - |F ^' _yn |) = - (|P'_{yn+ Δs} | -| P^′_yn|)S = F_y, (2.78) где знак "-" минус перед разностью абсолютных величин (|F ^' _{yn+ Δs}| - |F ^' _yn|) проекций соответственно на левую и правую грани S площадью приращения ΔV объёма газа введён для получения

положительного значения проекция F_y на OY ось вектора F результирующей силы ввиду того, что абсолютная величинапроекции F ^' _yn на OY ось вектора F^′_n силы давления на левую грань S площадью по абсолютной величине будет больше проекции F ^' _{yn+ Δs} на OY ось вектора F ^' _{yn+ Δs} силы давления на правую грань той же S площадью.

В выражении (2.78) произведения P^′_yn, P^′_{yn+ Δs} давлений газа соответственнона левую и правую грани (рис. 02.0.20) ΔV объёма газа S площадьюэтихгранейравны F ^' _yn, F ^' _{yn+ Δs} проекциям на OY ось

векторов F ^' _yn, F ^' _{yn+ Δs}, т.к. векторы F ^' _yn, F ^' _{yn+ Δs} сил давления газа перпендикулярны граням ΔV объёма газа, а OY ось координат тоже перпендикулярна граням S площадью ΔV объёма газа.

Приращение (2.78) ΔP′ = (|P' _{yn+ Δs}| -|P^′_yn|) давления в ΔV объёме газа на (рис. 02.0.20) Δs длине имеет вид: ΔP′ = (∂P^′/∂y)Δs, вследствие чего проекция F_y на OY ось вектора F результирующей силы, действующей на ΔV объём газа S площадью и Δs длиной, имеет следующий вид: F_y = - (∂P^′/∂y)ΔsS. (2.79)

Волновое уравнение распространения акустических волн в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде: фазовая скорость распространения звука

В звуковой волне сжатие и расширение газа следуют друг за другом через короткие промежутки времени, вследствие чего смежные участки упругой среды не успевают обмениваться теплом. Поэтому связь между P давлением и V объемом соседних участков газа, в котором распространяется акустическая волна, определяется законом Пуассона (4.68) из раздела 04.1.0 " Физическая термодинамика", имеющего следующий вид: PV^γ = const, (2.81) где γ - отношение молярной C_p теплоемкости газа при постоянном P давлении к молярной

C_v теплоемкости газа при постоянном V объеме. Уравнение (2.81) Пуассона для двух состояний газа: до возникновения упругой волны в газе с давлением (рис. 02.0.18) в V_n объеме и после возникновения волны в газе, вследствие чего в

V_n + ΔV = S(Δy + Δs) объеме давление этого газа стало равным P ^′, имеет следующий вид:

P(SΔy)^γ = P ^′ [S(Δy + Δs)]^γ = P ^′ {S[Δy + (∂s/∂y)Δy]}^γ = P ^′ (SΔy)^γ [1 + (∂s/∂y)]^γ ↔ ↔ P ^′ = P/[1 + (∂s/∂y)]^γ ≈ P/[1 + γ (∂s/∂y)] ≈ P[1 - γ(∂s/∂y)], (2.82) где Δy - длина (рис. 02.0.18) V_n объёма между сечениямис y_n и y_n+1 координатами.

Приближённые " ≈ " равенства в (2.82) выражении введены вследствие малости относительного отклонения, т.е. деформации (∂s/∂y) << 1 при s отклонениях частиц от положения равновесия в произвольный момент t времени. В (2.82) сначала было использовано разложение выражения

[1 + (∂ s/∂y)]^γ в ряд по степеням (∂s/∂y) с пренебрежением членами высших порядков малости, а потом использовано приближенное равенство: 1/[1 + γ(∂s/∂y)] ≈ [1 - γ(∂s/∂y)], которое справедливо при γ(∂s/∂x) << 1.

Первая производная от выражения (2.82) по y имеет следующий вид:

∂P ^′ /∂y = -γP(∂²s/∂y²). (2.83) Подставляем (2.80) в (2.82) и получаем следующее одномерное волновое уравнение распространения акустических волн в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде: ∂ ² s/∂y² = ρ(∂²s/∂t²)/γp ↔ ∂ ² s/∂y² = (1/ v ²)(∂²s/∂t²), (2.84) где (γP/ρ)^1/2 = v - фазовая (рис. 02.0.18), (рис. 02.0.19) скорость распространения звуковой волны в направлении k волнового вектора, перпендикулярного плоской волновой поверхности S площадью поперечного сечения области газа.

Из уравнения Менделеева - Клапейрона (4.13) из раздела 04.1.0 " Физическая термодинамика" для идеального газа при постоянном p давлении имеет место следующее выражение: P/ρ =RT/μ ↔ ρ = Pμ/RT, (2.85) где R - универсальная газовая постоянная; T - термодинамическая температура; μ - масса одного моля газа; ρ - плотность этогогаза.

Подставляем (2.85) ρ плотности в выражение (2.84), после чего фазовая v скорость газа распространения звуковой волны в газе в принимает следующий вид: v = (γRT/μ)^1/2. (2.86)

Средняя < v > скорость теплового движения молекул газа(4.229) из раздела 04.2.0 "Физическая термодинамика" имеет следующий вид: < v > = (8RT/πμ)^1/2. (2.87) Сравнивая (2.86) и (2.87) получаем следующее соотношение фазовой v скорости распространения звуковой волны в газе со средней < v > скоростью теплового движения молекул газа: v = < v >(γπ /8)^1/2 ≈ (3/4)< v >. (2.88) Согласно (2.88) фазовая v скорость распространения звуковой волны в газе одного порядка со средней < v > скоростью теплового движения молекул газа.

По аналогии с одномерным (2.85) волновым уравнением распространение акустических волн в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде с учетом s отклонения от положения равновесия частиц этой среды в произвольный момент t времени в произвольной точке трехмерного пространства с декартовыми x, y и z координатами описывается следующим трёхмерным волновым уравнением: (∂²s/∂x²) + (∂²s/∂y²) + (∂²s/∂z²) = (1/ v ²)(∂²s/∂t²), (2.89) гдеv фазовая скорость распространения звуковой волны в любом направлении трёхмерного пространства вследствие свойства изотропности этого пространства и любой точке с

x, y и z координатами вследствие однородности трёхмерного пространства.

Волновое уравнение, фазовая скорость распространения продольных упругих волн в стержнях.

Фазовая v скорость распространения продольной упругой волны в тонком стержне определяется из волнового уравнение распространения этих упругих продольных волн в тонких стержнях, когда ød диаметр (рис. 02.0.21) стержня много меньше λ длины упругой волны, т.е. когда ød<< λ.

Упругая продольная волна в тонком стержне по аналогии(рис. 02.0.18) с звуковой волной в газе представляет собой (рис. 02.0.21) последовательность чередующихся областей (синий цвет) сжатия и (голубой цвет) расширения, распространяющихся в направлении k волнового вектора, т.е. вдоль оси этого тонкого стержня в положительную сторону OY оси. Вследствие колебаний c (2.3)

T = 2π/ω периодом гармонических колебаний (рис. 02.0.21) внешнего И источника звука,например, пьезоэлектрического вибратора, V₁ объем тонкого стержня, находящегося между сечениями газа с y₀, y₁ координатами, в интервал (рис.2.21) времени от 0 до T/4 испытывает (синий цвет) сжатие.

В интервал (рис. 02.0.21) времени от T/4 до T/2 объем V₁ тонкого стержня испытывает

(голубой цвет) расширение, вследствие чего малый объем тонкого стержня Δy длиной, находящийся в начальный момент t₀ = 0 времени в (серый цвет) недеформированном состоянии, расширяется на малую Δs длину. Поэтому этот малый объем тонкого стержня Δy длиной к моменту T/2 времени имеет

∂s/∂y относительную деформацию, которая определяется следующим предельным переходом от малой

Δy длины тонкого стержня, который получил малую Δs деформацию: ε = limΔs / Δy = ∂s/∂y, (2.90) Δy→0

где ε = ∂s/∂y - относительная деформация численно равна значению длины, на которую расширился или сжался рассматриваемый объем тонкого стержня при распространении в нём упругих продольных волн, отнесённой к единице длины тонкого стержня. При расширении объема тонкого стержня ε = ∂s/∂y относительная деформация больше нуля, т.к. (2.90) при расширении Δs > 0. При сжатии объема тонкого стержня ε = ∂s/∂y относительная деформация меньше нуля, т.к. (2.90) при сжатии Δs < 0.

При малых продольных деформациях рассматриваемый объем тонкого стержня характеризуется σ напряжением, котороесогласнозакону Гука имеет следующее выражение:

σ = Eε, (2.91)

где E, Н/м² - модуль Юнга, характеризующий прочностные свойства тонкого стержня, а именно, равный силе, которую надо приложить к тонкому стержню с единичным поперечным сечением, чтобы ε относительная деформация в нём равнялась единице, т.е. когда (2.90) малая Δy длина недеформированного стержня под воздействием приложенной силы увеличилась на величину малой

Δs = Δy деформации; σ, Н/м² - напряжение в площади поперечного сечения тонкого стержня, расположенной в y координате; напряжение σ, Н/м² численно равно результирующей силе, приложенной в данной y координате к единичной площади поперечного сечения тонкого стержня с

вектором этой результирующей силы, направленным перпендикулярно поперечному сечению тонкого стержня; напряжение σ, Н/м² в площади поперечного сечения тонкого стержня, расположенным в

y координате тонкого стержня, имеет знак ε относительной деформации в этой площади поперечного сечения тонкого стержня: при расширении объема в данной площади поперечного сечения тонкого стержня ε = ∂s/∂y относительная деформация (2.90) больше нуля, поэтому напряжение σ, Н/м² в этой площади тоже больше нуля; при сжатии объема в данной площади поперечного сечения тонкого стержня ε = ∂s/∂y относительная деформация (2.90) меньше нуля, поэтому напряжение σ, Н/м² в этой площади тоже меньше нуля.

На рис. 02.0.22 по аналогии с рис. 02.0.20, где изображено приращение ΔV объёма газа при распространении в нём звуковой волны,представлен отдельно от всего (рис.2.21) тонкого стержня малый ΔV объем этого тонкого стержня Δs длиной и S площадью поперечного сечения, испытывающий в момент t_n времени расширение.

При расширении малого ΔV объема тонкого стержня к правой чёрной стенке приложен вектор F _{yn+ Δs} силы упругой деформации в положительном направлении OY оси, вследствие чего эта правая чёрная стенка удалилась от левой зелёной стенки малого ΔV объема тонкого стержня на малую

Δs длину и заняла положение с y_n+ Δs координатой. К левой зелёной стенке малого ΔV объема тонкого стержня, имеющей внедеформированном состоянии y_n координату, приложенвектор F _yn силы упругой деформации, который противодействует вектору F _{yn+ Δs} силы упругой деформации в

деформации в правой чёрной стенки с y_n+ Δs координатой, а F _yn модуль вектора F _yn силы упругой деформации у левой зелёной стенки малого ΔV объема меньше F_{yn+ Δs} модуля вектору F _{yn+ Δs} силы упругой деформации в правой чёрной стенки с y_n+ Δs координатой, потому что в противном случае не происходило бы расширения малого ΔV объема на Δs длину в положительном направлении OY оси.

Проекция II закона Ньютона на OY ось для m массы материала тонкого стержня

ρ плотностью, заключённой в (рис.2.22) малом объема ΔV = SΔs, к которой по OY оси приложены два вектора: вектор F _{yn+ Δs} силы упругой деформации в правой чёрной стенки с y_n+ Δs координатой и вектор F _yn силы упругой деформации у левой зелёной стенки с y_n координатой, имеет следующий вид: OY: ρSΔs(∂²s/∂t²) = (F_{yn+ Δs})_y + (F_yn)_y = F_{yn+ Δs} - | F _yn |,(2.92)

где ∂²s/∂t² - проекция вектора ∂² s /∂t² ускорения на OY ось (рис.2.22) центра C масс малого ΔV объема тонкого стержня при его расширении на Δs длину в положительном направлении OY оси;

(F_{yn+ Δs})_y = F_{yn+ Δs} - проекция на OY ось вектора F _{yn+ Δs} силы упругой деформации, который направлен в положительную сторону OY оси; (F_yn)_y = - | F _yn | - проекция на OY ось вектора F _yn силы упругой деформации, который направлен в отрицательную сторону OY оси, что в (2.93) учтено знаком "-" минус перед | F _yn | модулем этого вектора F _yn силы упругой деформации.