Вращающийся Aвектор, равный сумме векторов A1 иA2 , изображающих соответственногармонические колебания1 - го грузикаотносительно 2- го грузикаи гармонические колебания 2 page

Сумма (2.32) и (2.33) - это полная W_Σ механическая энергия материальной точки m массой (рис.2.8), сместившейся под воздействием F_xупр упругой силы в момент t времени в y координату, отсчитанной от O начала координат, которое находится в точке устойчивого равновесия материальной точки m массой, вследствие чего эта полная W_Σ механическая энергия колеблющейся материальной точки m массой имеет следующий вид: W_Σ = W_k + W_p = = (mω₀²A²/4)[1 - cos(2ω₀t+2φ₀)] + (mω₀²A²/4)[1+ cos(2ω₀t+2φ₀)] = (mω₀²A²/2) = const. (2.34) Таким образом, пружинный маятник (рис. 02.0.8), совершающий прямолинейные гармонические колебания обладает всеми следующими 3-мя признаками гармонического осциллятора:

- его W_p потенциальная энергия (2.32)являетсяфункцией одной переменной;

- у него существует положение устойчивого равновесия (рис. 02.0.8), вкотором W_p потенциальная энергияравна нулю;

- его W_Σ полная (2.34) механическая энергия в произвольный момент t времени постоянна. Модуль p вектора p импульса гармонического осциллятора (1.36) из раздела 01.0 " Физические основы механики " с учетом (2.29) ds/dt = dy/dt = v = Aωcos(ωt+ φ₀ +π/2) скорости смещения материальной точки m массой в произвольный момент t времени относительно положения равновесияимеет следующий вид: p = m v = mAωcos(ω₀t+ φ₀ +π/2). (2.35)

Фазовая траектория колебательной системы

Фазовой траекторией колебательной системы называется представление на OYZ плоскости (рис.02.0.11) зависимости момента импульса или импульса этой колебательной системы от соответственно угла отклонения при угловых колебаниях или смещения при прямолинейных колебаниях от положения устойчивого равновесия.

Проекция dα/dt на OX ось вращения вектора d α /dt угловой скорости, который (рис. 02.0.10) направлен противоположно OX оси, т.к. математический маятник в данный момент t времени вращается вокруг OX оси по часовой стрелке, согласно (1.18) из раздела 01.0 " Физические основы механики "имеет следующий вид: dα/dt = - α₀ω₀sinωt = α₀ω₀cos(ω₀t + π/2), (2.37) где α₀ω₀ - амплитуда проекции dα/dt на OX ось вектора d α /dt угловой скорости этого математического маятника. Умножаем (2.37) на момент J_OX инерции (1.63) из раздела 01.0.0 " Физические основы механики " математического маятника относительно OX оси вращения и получаем L_OX проекцию на эту OX ось вращения (1.74) из раздела 01.0.0 " Физические основы механики "вектора L момента импульса математического маятника в произвольный момент t времени.

Проекция L_OZ на OZ ось вращения вектора L момента импульса математического маятника в данный момент t времени положительна, т.к. этот вектор (рис. 02.0.10) L момента импульса коллинеарен вектору d α /dt угловой скорости и направлен с ним в противоположные стороны, и имеет следующий вид: L_OX = J_OXα₀ω₀cos(ω₀t + π/2), (2.38)

где J_OXα₀ω₀ - амплитуда проекции L_OX на OX ось вращения вектора L момента импульса математического маятника.

Исключениемв (2.36) и (2.38) t времени получается выражение проекции L_OX на OX ось вращения вектора L момента импульса математического маятника в зависимости от α угла (рис.2.10) отклонения этого математического маятника относительно OX оси в данный момент

t времени, которое имеет следующий вид: [L_OX²/J_OX²α₀²ω₀ ²)] + α ²/α₀² = 1. (2.39)

математического маятника. Величина полуоси (рис. 02.0.11) эллипса по OY оси равна (рис. 02.0.10)

амплитуде α_m угла отклонения математического маятника, а величина полуоси (рис. 02.0.11) этого эллипса по OZ оси равна (рис. 02.0.10) амплитуде J_OXα₀ω₀ проекции L_OX на OX ось вращения вектора L момента импульса математического маятника.

Согласно рис. 02.0.11при максимальном α₀ угловом отклонении математического маятника от положения равновесия момент импульса этого

математического маятника равен нулю иравна (1.92) из раздела 01.0.0 " Физические основы механики " нулю кинетическая W_k энергия математического маятника. При прохождении математическим маятником (рис. 02.0.10) положения равновесия, т.е. при α угловом отклонении, равным нулю, потенциальная W_p энергия в OYZ системе координат (рис. 02.0.10) равна нулю, а кинетическая W_k энергия этого математического маятника, вследствие максимального значения (2.36) dα/dt модуля вектора d α /dt угловой скорости будет максимальна и согласно (1.110) из раздела 01.0.0 " Физические основы механики " будет равна полной W механической энергии этого математического маятника, имеющей следующий вид: W = J_OX²α₀²ω₀ ²/2. (2.40) Таким образом, анализ фазовой траектории колебательной системыдаёт возможность изучать характер движения и энергетические характеристики этойколебательной системы.

Физический маятник.

Физический маятник (ФМ) - это любое тело, имеющее возможность совершать колебательные движения относительно положения равновесия под действием вектора m g силы тяжести (рис. 02.0.12) вокруг неподвижной горизонтальной OX оси, не проходящей через C центр массы тела и называемой осью качания маятника.

Точка K пересечения OX оси качания ФМ и LL перпендикуляром кней, называется точкой подвеса этого ФМ. В отсутствие сил трения в подвесе уравнение движения ФМ, колеблющегося вокруг OX оси с учетом закона изменения момента импульса механической системы (1.76) из раздела 01.0.0 " Физические основы механики ",имеет следующий вид: J_OX(d²α/dt²) = - mgdsinα, (2.41) где J_OX - момент инерции маятника относительно OX оси, α - угол поворота относительно положения равновесия маятника, d²α/dt² = β - проекция на OX ось вектора β углового ускорения ФМ, который направлен противоположно этой OX оси; d - расстояние от C центра масс до точки K подвеса ФМ,

m - масса маятника; "- mgdsinα " - проекция М _X на OX ось качания маятника вектора М (рис.2.12) момента от вектора m g силы тяжести относительно (1.62) из раздела 01.0.0 " Физические основы механики " O полюса, которым (рис. 02.0.12) является начало O координат; dsinα = l - плечо вектора

m g силы тяжести относительно этого O полюса. Вектор М момента вектора m g силы тяжести направлен противоположно OX оси и поэтому имеет отрицательную проекцию М _X на OX ось. При малых α углах колебания маятника sinα≈ α и уравнение (2.41) принимает следующий вид:

Квазиупругая сила колебательной системы

Согласно выражению (2.32) вектор F равнодействующей приложенных сил, приводящий к гармоническим колебаниям по OY оси, имеет следующий вид: F = - mω₀ ²Δ y. (2.45) В гармоническим осцилляторе, которым, в частности, является (рис. 02.0.8) пружинный маятник,эта сила имеет упругий характер. Вектор F_упр упругой силы направлен в противоположную сторону вектору Δ y смещения пружинного маятника, направленного (рис.2.8) от O начала координат, относительно которого происходит колебание этого пружинного маятника. Силы иной физической природы, но обладающие свойством иметь направление, противоположное вектору смещения, называются квазиупругими силами. Такие силы тоже вызывают в системе гармонические колебания. При колебаниях (рис. 02.0.12) физического маятника по (2.40) уравнению роль квазиупругой силы выполняет вектор М момента вектора m g силы тяжести. Вектор М моментанаправлен противоположно вектору α угла отклонения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение

В отличие от пружинного маятника на рис. 02.0.1 на маятник (рис. 02.0.13) при возвратно - поступательном движении с вектором v скорости относительно Н направляющих кромевектора F_упр силы упругости пружины и вектора m g силы тяжести тела m массой действует также вектор F_c силы сопротивления, например, возникающий вследствие трения тела m массой о Н направляющие. Вектор F_c силы сопротивления направлен противоположно вектору

v =(dz/dt) j скорости движения тела m массой и имеет следующий вид: F_c = - r(dz/dt) j = -r v, (2.46) где r = const > 0 - коэффициент сопротивления.

Вектор v скоростидвижения тела m массой в данный момент t времени принят на рис. 2.13 направленным в сторону, противоположную j единичному вектору.

В выражении (2.47) проекция Δz на OZ ось вектора Δ z смещения пружинного маятника заменена равной этой проекции Δz величиной z координаты, отсчитанной от O' начала координат в состоянии статического удлинения пружины, относительно которого происходит колебание пружинного маятника

Если затухание не слишком велико, что выполняется при β < ω₀, то зависимость z(t) смещения (рис. 02.0.13) тела m массой, совершающего на пружине свободные затухающие колебания относительно статического удлинения пружинного маятника, т.е. относительно O' начала координат, в зависимости от t времени, имеет следующий вид: z = A₀e^{-β t}cos(ωt + φ₀), (2.48) где ω = (ω₀²- β²)^1/2 - циклическая частота свободных затухающих колебаний пружинного маятника.

Постоянные величины A₀ и φ₀ в (2.49) соответственно начальная амплитуда и начальная фаза колебаний определяются из начальных условий, в которых находится пружинный маятник в момент начала t₀ времени, т.е. t₀ = 0, свободных затухающих колебаний этого пружинного маятника по следующим выражениям: z₀ = A₀cosφ₀ и v _0Z = (dz/dt)_t0=0 = - A₀(βcos φ₀ + ωsinφ₀), (2.49) где z₀ и v _0Z - соответственно начальное отклонение, отсчитанной от O' начала координат в состоянии (рис. 02.0.1) статического удлинения пружины,и проекция на OZ ось вектора v ₀ начальной скорости тела m массой. Величины z₀ и v _0Z задаются в условии задач. Неизвестные величины A₀ и φ₀ определяются из решения системы (2.50) двух уравнений с двумя неизвестными. Период T и циклическая ω частота свободных затухающих колебаний согласно (2.3) связаны следующим соотношением: T = 2π/ω =2π/(ω₀ ²- β²)^1/2 (2.50) При увеличении β коэффициента затухания T период свободных затухающих колебаний возрастает и обращается согласно (2.50) в бесконечность при равенстве (2.47) β коэффициента затухания ω₀ циклической (2.2) частоте гармонических колебаний. Таким образом, при β = ω₀, колебания в механической системе отсутствуют.

Если β > ω₀, то зависимость z(t) смещения (рис. 02.0.13) тела m массой относительно O' начала координат в зависимости от t времени, что является решением дифференциального (2.49) уравнения, имеет следующий вид: z = C₁exp-α₁ t + C₂ exp-α₂ t, (2.51)

где α₁ = β + (β² - ω₀²)^1/2 и α₂ = β - (β² - ω₀²)^1/2, а C₁ и C₂ - постоянные коэффициенты, которые определяются аналогично (2.49) из задания z₀ и v _0Z - соответственно начального отклонение, отсчитанной от O' начала координат в состоянии (рис. 02.0.1) статического удлинения пружины,и проекции на OZ ось вектора v ₀ начальной скорости тела.

Согласно решению (2.51) дифференциального (2.47) уравнения при превышении β коэффициента затухания ω₀ циклической частоты смещение Δz = z (рис. 02.0.13) тела m массой относительно положения равновесия носит апериодический характер и с учётом (2.51) α₁ > α₂ в установившемся состоянии, т.е. при t → ∞, смещение Δz = z тела m массой относительно положения равновесия стремится к нулю.

Таким образом, в установившемся состоянии при апериодическом (2.51) характере движения тело стремится к своему положению равновесия.

Логарифмический декремент затухающих колебаний. Добротность колебательной системы

Логарифмическим δ декрементом затухания называется безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения амплитуд затухающих колебаний в моменты t и (t + T) времени и имеющая следующий вид: δ = ln(A₀e^-βt/A₀e^-β(t+T)) = βT. (2.52) Число N колебаний, по происшествию которых A₀e^-βt амплитуда свободных затухающих колебаний уменьшается в e раз, связано с выражением (2.52) логарифмического δ декремента затухания следующим соотношением: (A₀e^-βt)/(A₀e^-β(t+NT)) = e ↔ βNT = 1 ↔ N = 1/δ. (2.53) Время τ релаксации, по истечению которого A₀e^-βt амплитуда свободных затухающих колебаний уменьшается в e разсвязано с учётом(2.52), (2.53)с β коэффициентомзатухания следующим выражением: τ = NT ↔ τ = 1/β. (2.54) Связь между ω циклической частотой свободных затухающих колебаний, ω₀ циклической частотой гармонических колебаний и δ логарифмическим декрементом затухания устанавливается следующим выражением: ω = ω₀[1 - (ω/ω₀)²(δ/2π)²]^1/2. (2.55) Добротностью Q колебательной системы называется безразмерная физическая величина, равная произведению 2π на отношение W(t) энергии колебаний системы в произвольный момент

t времени к убыли этой энергии за промежуток времени от t до (t + T), т.е. за один период свободных затухающих колебаний, вследствие чего выражение для Q добротности колебательной системы имеет следующий вид: Q = 2πW(t)/[(W(t) - W(t + T))]. (2.56) Квадрат амплитуды свободных затухающих колебаний в произвольный момент

t времени согласно (2.48) равен A₀²e^{-2β t}, а (2.34) полная W_Σ механическая энергия колеблющейся материальной точки m массой пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, поэтому с учетом этого выражение (2.56) принимает следующий вид: Q =2π(A₀²e^{-2 β t})/(A₀²e ^{-2 β t}- A₀²e ^{-2 β(t+T)}) = 2π/(1 - e^-2βT) = 2π /(1- e^-2δ). (2.57) где δ (2.52) - логарифмический декремент затухания.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение

При приложении к пружинному маятнику помимо (рис. 02.0.13) вектора F_c силы сопротивления вектора F_в = F₀ cosΩt внешней периодической силы (рис. 02.0.14)дифференциальное (2.48) уравнение в проекции на OZ ось принимает следующий вид:

OZ: m(d²z/dt²) = mg - F_{Zуп р} - F_Zc + F_Zв ↔ m(d²z/dt² ) = - kΔz - r(dz/dt ) cos( v, ^j ) + F₀ cosΩt ↔

↔ md²z/dt² = - kΔz - r(dz/dt ) + F₀ cosΩt ↔ d²z/dt² + 2β(dz/dt)+ ω₀²z =(F₀/m) cosΩt. (2.58) Зависимость z(t) смещения (рис. 02.0.14) тела m массой, совершающего на пружине вынужденные гармонические колебания относительно статического удлинения пружинного маятника, т.е. относительно O' начала координат, в зависимости от t времени, что является решением дифференциального (2.58) уравнения, содержит два слагаемых и имеет следующий вид: z = z₁(t) + z₂(t). (2.59)

Первое z₁(t) слагаемое в (2.59) соответствует (2.48) свободным затухающим колебаниям пружинного маятника. Второе z₂(t) слагаемое в (2.59) соответствует гармоническим колебаниям пружинного маятника с Ω циклической частотой, равной Ω циклической частоте вектора

F_в = k F₀ cosΩt внешней периодической силы, где F₀ - амплитуда модуля F_в вектора F_в внешней периодической силы.

Амплитудное значение z₁(t) свободных затухающих колебаний, равное (2.48) A₀e^-βt, уменьшается соответственно значению (2.48) β коэффициента затухания. Через 5τ промежуток времени, где (2.54) τ - время релаксации, амплитуда A_5τ свободных затухающих колебаний становится равной следующему значению: A _5τ = A₀exp - β (t₀ + 5τ ) = A₀/e⁵≈ A/166, (2.60)

где t₀ = 0 и A₀ – соответственномомент времени начала колебанийи начальная амплитуда колебаний в этот начальный момент t₀ времени.

Следовательно, через некоторое время после начала колебаний свободные z₁(t) колебания пружинного маятника практически прекращаются. Пружинный маятник переходит в состояние установившихся вынужденных гармонических колебаний в зависимости от t времени, что является следующим решением дифференциального (2.58) уравнения: z =A_в cos(Ωt+ φ₀). (2.61)