Временнаяsin(ωt - kL ) часть (2.122) уравнения не зависит от y координаты и определяет состояние всех частиц упругой среды вданный моментtвремени. Например, в момент

t времени, когда sin(ωt - kL) временная часть (2.123) уравнения равна нулю, все частицы имеют

s смещение частиц упругой средыот положения равновесия, равное нулю. В момент t времени, когда sin(ωt - kL) временная часть (2.122) уравнения равна единице, все частицы имеют s смещение частиц упругой средыот положения равновесия, равное амплитуде, т.е. максимальному значению. В отличии от бегущей (2.118) акустической волны в стоячей акустической волне существуют волновые поверхности с y_у координатами, в которых движение частиц упругой среды отсутствует. Координаты y_у волновых поверхностей, в которых движение частиц упругой среды отсутствует, называется узлами стоячей волны.

В стоячей плоской акустической волны существуют волновые поверхности с y_п координатами, в которых в определённые моменты t времени смещение частиц упругой среды относительно своего положения равновесия достигает максимума.Координаты y_п, в которых в определённые моменты t времени частицы упругой среды достигают своего максимального значения, называются пучностями.

В области упругой среды, находящейся вблизи волновых поверхностей с y_п координатами пучностей существуют в определённые моменты t времени (2.104) максимальные значения скорости частиц этой упругой среды, поэтому в упругой среде с y_п координатами пучностей частицы упругой средыимеют максимальное значение W_k кинетической энергии. Если (рис. 02.0.27) длина L закрытой с правой стороны трубы, в которойс помощью вибратора у левой открытой стороны трубы возбуждается акустическая волна, такова, что k₁ L = π/2, где (2.70) k₁ = 2π/λ₀ – волновое число, то в t = nT/2 моменты времени, где n = 0, 1, 2, …, а T - период колебанийисточника акустической волны, т.е. вибратора, модуль sin(ω₀t - kL) временной части (2.122) уравнения равен единице и s отклонения частиц от положения равновесия в y координате упругой среды, равной нулю, т.е. y = 0, будут равны A_s амплитуде стоячей акустической волны, равной удвоенной амплитуде этих частиц упругой среды в режиме (2.69) бегущей акустической волны, т.е. A_s = 2A.

В интервал (рис. 02.0.27) времени от t₀ = 0 с до t₂ = T/2 с падающая (2.118) волна s₁ = s₁(y, t) распространяется от И источника, т.е. вибратора, до закрытой с правой стороны трубы, затем отражается от этой закрытой стороны трубы с изменением фазы отражённой акустической волны навеличину, равную π, и возвращается к моменту t₂ = T/2 с времени в сечение трубы с y = 0 координатой y = 0 по OY оси. В этом сечении отраженная (2.121) волна s₂ = s₂(x, t) с отрицательным смещением частиц упругой среды относительно положения равновесия, равным " -A ", складывается с таким же смещением, равным " -A ", у И источника (2.118)падающей волны s₁ = s₁(x, t), вследствие чего в сечении с 0 координатой по OY оси в момент t = T/2 с времени результирующие отклонения (2.122) s = s(x, t) частиц упругой среды от положения равновесия в открытой части трубы будут максимальны в сторону, противоположную OY оси, т.е. при y = 0, будут равны отрицательным

"- A_s = -2A " смещениям частиц упругой среды относительно положения равновесия. Интервал времени от t = 0 c до t = T/2 с является интервалом, в пределах которого происходит установление результирующих отклонений (2.123) s = s(x, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны.

Если длина L закрытой с одной стороны трубытакова, что k₁L = π/2, то на открытой стороне трубы устанавливается пучность стоячей плоской акустической волны, а у закрытой стороны трубы устанавливается узел этой стоячей плоской акустической волны. Такие же, что и в момент t = T/2 с времени результирующие отклонения (2.122) s = s(x, t) частиц упругой среды от положения равновесия будут иметь в моменты t = 3T/2; 5T/2;… с времени, т.е. эти отклонения будут равны отрицательным "- A_s = -2A " смещениям частиц упругой среды относительно своего положения равновесия.

В моменты времени t = T, 2T, … с, представленные на рис. 02.0.27 результирующие (2.122) отклонения s = s(x, t) частиц упругой среды от положения равновесия в открытой части трубы будут максимальны в направлении OY оси, т.е. при y = 0, будут равны (2.122) удвоенной A амплитуде

A_s = 2A бегущей волны.

Приращение Δp′ давления (2.77),если (рис. 02.0.27) L длина закрытой трубы такова, что

k₁L = π/2, в упругой среде в сечении трубы, где y = 0, т.е. в её открытой части, будет равно нулю, т. к. эта часть трубы находится в открытом пространстве. В сечении закрытой части трубы, т.е. при y = L, приращение Δp′ давления будет максимально: либо разрежение, которое возникнет в моменты

t = (2n + 1)T/2 с времени, где n = 0,1,2,…, и обозначены на рис. 02.0.27 бледно-голубым цветом, либо сжатие, которое возникнет в моменты t = 2nT/2 с времени, где n = 0,1,2,…, и обозначены на рис. 02.0.27 тёмно-синим цветом.

Таким образом, если L длина закрытой с одной стороны трубы такова, что k₁L = π/2, то на открытой стороне трубы устанавливается узел давления стоячей плоской акустической волны, а у закрытой стороны трубы устанавливается пучность давления этой стоячей плоской акустической волны.

Графики на рис. 02.0.27 при k₁L = π/2 относятся к стоячей волне, существующей в закрытой с правой стороны трубе, когда её L длина равна четверти λ₁/4 длины бегущей волны, т.е. имеет место следующее выражение: L = λ₁/4, (2.123) где λ₁ - длина первой гармоники бегущей волны.

При выполнении условия (2.124) на L длине закрытой с правой стороны трубы укладывается четвёртая часть от всей λ₁ длины бегущей волны.

Длина λ_1ст /2 первой гармоники стоячей волны, которая измеряется (рис. 02.0.27) по расстоянию между двумя соседними узлами или между двумя соседними пучностями этой стоячей волны, при выполнении условия (2.124) имеет следующий вид: λ_1ст= λ₁ /2 = 2L. (2.124)

Согласно (2.12) длина λ_ст стоячей волны в 2 раза меньше λ длины бегущей волны. Если L длина закрытой трубы такова, что k₂L = 3π/2, то (рис. 02.0.28) на L длине закрытой с правой стороны трубы укладывается три четвёртых части от всей λ₁ длины бегущей волны второй гармоники и с учётом (2.124) три вторых части от всей λ_1ст длины второй гармоники стоячей волны. В этом случае имеет место следующее выражение:

L = 3λ₂/4 = 3λ_2ст/2 ↔ λ_2ст = 2L/3, (2.125) где λ_2ст - длина второй гармоники стоячей волны.

Таким образом, при выполнении следующего условия: k_iL = (2i - 1)π/2, (2.126) где i = 1, 2, 3 …; k_i = 2π/λ_i – волновое число; в закрытой с правой стороны трубе L длиной возникают стоячие волны первой, второй, третьей и т.д. гармоник, длины волн λ_1ст, λ_2ст, λ_3ст, … и

λ₁, λ₂, λ₃, … которых определяютсяиз следующих выражений:

(2π/λ_i )L = (2i - 1)π/2 ↔ λ_i =4L/(2i - 1) ↔ λ_iст = 2L/(2i - 1), (2.127) где λ_i - длины бегущей волны соответствующие своему i номеру гармоники; λ_iст = λ_i /2 - длины стоячей волны соответствующие своему i номеру гармоники.

от положения равновесия отсутствует, т.е. на левой и правой частях трубы существуют узлы стоячей волны.

Приравнивание - 2Asink(L - y) амплитудной части (2.122) уравнения нулю при y = 0 позволяет получить следующее выражение для определения λ_i длины бегущей акустической волны и λ_iст = λ_i /2 длины стоячей акустической волны, соответствующих своему i номеру гармоники и

возникающих в трубе с двух концов закрытой упругой средой более плотной, чем упругая среда внутри трубы:

- 2Asink_i(L - y) = 0 ↔ sink_iL = 0 ↔ k_iL = iπ ↔ (2π/λ_i)L = iπ ↔ λ_i = 2L/i ↔ λ_iст = L/i, (2.128) где i = 1, 2, … - номер гармоники; λ_i - длина i - ой гармоники бегущей волны, λ_iст - длина i - ой гармоники стоячей волны, соответствующей i - ой гармоники бегущей волны.

Стоячая волна в непоглощающей упругой среде: расчёт координат узлов и пучностей

На первой гармонике стоячей волны (рис. 02.0.27) в закрытой с правой стороны трубе, т.е. когда i = 1, λ_1ст длина волны этой стоячей волны (2.128) равна 2L (рис. 02.0.27), а соответствующая этой стоячей волне бегущая волна имеет λ₁ длину 4L, в сечении закрытой трубы с y = L координатой, т.е. у закрытой стенки трубы, согласно (2.122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия будет в любой момент времени равны нулю. Эта y = L координата является y_y0 координатой узла для этой первой гармоники стоячей волны.

Общее выражение y_ym координат (рис.2.27) узлов в закрытой с правой стороны трубе, где m = 0, 1, 2, … номер узла для первой, второй, третьей и т.д. … гармоник стоячих волн с длинами λ_1ст, λ_2ст, λ_3ст, …, cоответствующих длинам λ₁, λ₂, λ₃, …бегущих волн, выводится приравниванием - 2Asink(L - y) амплитудной части (2.122) уравнения нулю.

Координаты узлов y_ym в закрытой с правой стороны трубе определяются с учётом (2.127)

λ_i =4L/(2i - 1) длины бегущей волны и (2.70) k_i = 2π/λ_i волнового число из следующего выражения:

- 2Asink_i(L - y_ym) = - 2Asin[(2π/λ_i)(L - y_ym)] = - 2Asin{2π[(2i + 1)/4L](L - y_ym)} = 0 ↔

↔ 2π[(2i + 1)/4L](L - y_ym) = mπ ↔ y_ym = L{1 - [2m/(2i -1)]}, (2.129) где m = 0, 1, 2, … номер узла для первой, второй, третьей и т.д. … гармоники, а m_max максимальное значение номера узла равно i - 1 номеру гармоники этой стоячей волны; k_i =2π/λ_i= π(2i - 1)/4L – волновое число (2.70), при выводе которого использовано выражение (2.128) для λ_i длины бегущей волны первой, второй, третьей и т.д. гармоник. Согласно (2.128) для первой гармоники стоячей волны, т.е. при i = 1, с λ_1ст длиной стоячей волны, равной 2L, которой соответствует λ₁ длина бегущей волны, равная 4L, существует один узел (рис. 02.0.27) этой стоячей волны с координатой (2.128) y_y0 = L при m_max = i - 1 = 0.

Для (рис. 02.0.28) второй гармоники стоячей волны, т.е. при i = 2, с λ_2ст длиной стоячей волны, равной (2.127) λ_2ст = 2L/3, которой соответствует λ₂ длина бегущей волны, равная λ₂ =4L/3, существуют (2.129) два узла этой стоячей волны со следующими координатами: y_y0 = L при m = 0; y_y1 = L/3 при m_max = i - 1 = 1. (2.130) Для третьей гармоники стоячей волны, т.е. i = 3, с λ_3ст длиной стоячей волной, равной (2.127) λ_3ст = 2L/5, которой соответствует λ₃ длина бегущей волны, равная λ₃ =4L/5, волны существует (2.129) три узла этой стоячей волны со следующими координатами:

y_y0 = L при m = 0; y_y1 = 3L/5 при m = 1; y_y2 = L/5 при m_max = i - 1 = 2. (2.131) Общее выражение y_ym координат (рис. 02.0.29) узлов закрытой с двух концов трубы, где

m = 0, 1, 2, … номер узла для первой, второй, третьей и т.д. … гармоник стоячих волн с длинами λ_1ст, λ_2ст, λ_3ст, …, cоответствующих (2.124) длинам λ₁, λ₂, λ₃, …бегущих волн, выводится приравниванием - 2Asink(L - y) амплитудной части (2.123) уравнения нулю.

Координаты узлов y_ym определяются с учётом (2.128) λ_i = 2L/i длины бегущей волны и (2.70)

k_i = 2π/λ_i волнового число из следующего выражения:

- 2Asink_i(L - y_ym) = - 2Asin[(2π/λ_i)(L - y_ym)] = - 2Asin(2πi/2L)(L - y_ym) = 0 ↔

↔ 2π(i/L](L - y_ym) = mπ ↔ y_ym = L[1 - (m/i)], (2.132) где m = 0, 1, 2, … номер узла для первой, второй, третьей и т.д. … гармоник, а m_max максимальное значение номера узла равно i номеру гармоники этой стоячей волны; k_i =2π/λ_i= πi/L – волновое число (2.70), при выводе которого использовано выражение (2.128) для λ_i длины бегущей волны первой, второй, третьей и т.д. гармоник.

Согласно (2.132) для (рис. 02.0.29) первой гармоники стоячей волны в закрытой с двух концов трубы, т.е. i = 1, с λ_1ст длиной стоячей волны, равной L, которой соответствует λ₁ длина бегущей волны, равная (2.124) 2L, существует два узла этой стоячей волны с y_y0 = L координатой (2.132) при

m = 0 и y_y1 = 0 координатой при m_max = i = 1.

В начальный момент t₀ = 0 времени для (рис. 02.0.29) первой гармоники стоячей волны результирующие (2.122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в центре трубы будут максимальны в направлении OY оси, т.е. при y = 0, будут равны (2.122) удвоенной A амплитуде A_s = 2A бегущей волны, т.е. в центре этой трубы будет пучность стоячей волны.

Приращение Δp′ давления (2.77),если L длина (рис. 02.0.29) закрытой с двух концов трубы такова, что k₀L = π, в упругой среде в сечении трубы, где y = 0, т.е. у её левого конца, будет отрицательно и равно по модулю максимальному A_Δp′ отклонению давления частиц упругой среды отравновесного значения. Отрицательное приращение Δp′ давления, т.е. растяжение,у левого конца закрытой с двух концов трубы обозначено на рис. 02.0.29 бледно-голубым цветом.

В сечении трубы, где y = L, т.е. у её правого конца, приращение Δp′ давления (2.78) будет положительно и равно A_Δp′ максимальному отклонению давления частиц упругой среды отравновесного значения. Положительное приращение Δp′ давления, т.е. сжатие,у правого конца закрытой с двух концов трубы обозначено на рис. 02.0.29 тёмно-синим цветом.

Таким образом, если L длина (рис. 02.0.29) закрытой с двух концов трубы такова, что k₁L = π, то на закрытых сторонах трубы устанавливаются пучности давления стоячей плоской акустической волны, а в центре трубы устанавливается узел давления этой стоячей плоской акустической волны.

Для (рис. 02.0.30) второй гармоники стоячей волны в закрытой с двух концов трубы, т.е. i = 2, с λ_2ст длиной стоячей волной, равной (2.124) λ_2ст = L/2, которой соответствует λ₂ длина бегущей волны, равная λ₂= L, существует (2.132) три узла этой стоячей волны со следующими координатами: y_y0 = L при m = 0; y_y1 = L/2 при m = 1; y_y1 = 0 при m = i = 2. (2.133)

В начальный момент t₀ = 0 времени для (рис.2.29) первой гармоники стоячей волны результирующие (2.122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в центре закрытой с двух концов трубы будет равным нулю, т.е. в центре этой трубы будет узел стоячей волны.

Пучности результирующего (2.123) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в стоячей волны, равные удвоенной A амплитуде A_s = 2A бегущей волны, будут располагаться в y_п = L/4, y_п = 3L/4 координатах закрытой с двух концовтрубы.

A_Δp′ максимальному отклонению давления частиц упругой среды отравновесного значения, т.е. упругая среда на закрытых концах трубы будет испытывать сжатие, которое обозначено на

рис. 02.0.30 тёмно-синим цветом.

В начальный момент t₀ = 0 времени для (рис. 02.0.30) второй гармоники стоячей волны в центре закрытой с двух концов трубы приращение Δp′ давления (2.77) будет отрицательно и равно по модулю максимальному A_Δp′ отклонению давления частиц упругой среды отравновесного значения, т.е. упругая среда в центре закрытой с двух концов трубы будет испытывать растяжение, которое обозначено на рис. 02.0.30 бледно-голубым цветом.

В последующие моменты t времени стоячей волны в закрытой с двух концов трубе

y координаты узлов приращения Δp′ давления и результирующего отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия останyтся неизменными. Координаты пучностей приращения Δp′ давления и результирующего отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия тоже останутся неизменными, но через T_i/2 половину периодаколебаний частиц упругой среды в режиме стоячей волны i - ой гармоники знаки отклонений s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия и приращения Δp′ давления изменятся на противоположные, т.е. положительные смещения частиц упругой среды относительно положения равновесия станут отрицательными, а положительные приращения Δp′ давления стоячей плоской акустической волны превратятся в отрицательные.

Общее выражение координат пучностей y_пm для (рис. 02.0.27), (рис. 02.0.28)закрытой с одной стороны трубы, где m = 0, 1, 2, …номер пучности для первой, второй, третьей и т.д. … гармоник стоячих волн с длинами λ_1ст, λ_2ст, λ_3ст, …, соответствующих (2.124) длинам λ₁, λ₂, λ₃, …бегущих волн, которые употребляются в уравнении стоячей волны,выводится приравниванием - 2Asink(L - y) амплитудной части (2.122) уравнения величине 2A, т.е. максимальномуотклонению s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия, вследствие чего имеет место следующее выражение: -2Asink_i(L - y_пm) = -2Asin{2π[(2i - 1)/4L](L - y_пm)} = ±2A ↔

↔ 2π[(2i - 1)/4L] (L - y_пm) = (2m + 1)π/2 ↔ y_пm = L{1 - [(2m+1)/(2i-1)]}, (2.134) где m = 0, 1, 2, … номер пучности для первой, второй, третьей и т.д. … гармоник стоячей волны, а

m_max максимальное значение номера пучности равно i -1 номеру гармоники этой стоячей волны;

k_i =2π/λ_i = π(2i - 1)/4L - волновое число (2.70), при выводе которого использовано (2.127) выражение для λ_i длины бегущей волны первой, второй, третьей и т.д. гармоник. Для первой гармоники стоячей волны, т.е. при i = 1, с λ_1ст длиной стоячей волной, равной

λ_1ст = 2L, которой соответствует λ₁ длина бегущей волны, равная (2.128) λ₁=4L, существует

(рис. 02.0.27) одна пучность этой стоячей волны с (2.134) координатой, равной y_п0 = 0 при

m_max = i - 1 = 0.

Для второй гармоники стоячей волны, т.е. при i = 2, с λ_2ст длиной стоячей волной, равной

λ_2ст = 2L/3, которой соответствует λ₂ длина бегущей волны, равная (2.127) λ₂ =4L/3, существуют

(рис. 02.0.28) две пучности этой стоячей волны со (2.134) следующими координатами: y_п0 = 2L/3 при m= 0; y_п1 = 0 при m_max = i - 1 = 1. (2.135)

Общее выражение координат пучностей y_пm для (рис. 02.0.29), (рис. 02.0.30) закрытой с двух концов трубы, где m = 0, 1, 2, …номер пучности для первой, второй, третьей и т.д. … гармоник стоячих волн с длинами λ_1ст, λ_2ст, λ_3ст, …, соответствующих (2.124) длинам λ₁, λ₂, λ₃, …бегущих волн, которые употребляются в уравнении стоячей волны,выводится приравниванием - 2Asink(L - y) амплитудной части (2.122) уравнения величине 2A, т.е. максимальномуотклонению s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия, вследствие чего имеет место следующее выражение:

-2Asink_i(L - y_пm) = -2Asin(2π i/2L)(L - y_пm)} = ±2A ↔ (πi/L)(L - y_пm) = (2m + 1)π/2 ↔

↔ y_пm = L[1 - (2m+1)/2i], (2.136) где m = 0, 1, 2, … номер пучности для первой, второй, третьей и т.д. … гармоник стоячей волны, а

m_max максимальное значение номера пучности равно i -1 номеру гармоники этой стоячей волны;

k_i =2π/λ_i = πi/L - волновое число (2.70), при выводе которого использовано (2.128) выражение для

λ_i длины бегущей волны первой, второй, третьей и т.д. гармоник. Для первой гармоники стоячей волны, т.е. при i = 1, с λ_1ст длиной стоячей волной, равной

λ_1ст = 2L, которой соответствует λ₁ длина бегущей волны, равная (2.128) λ₁=2L, существует

(рис. 02.0.29) одна пучность этой стоячей волны с (2.136) координатой, равной y_п0 = L/2 при

m_max = i - 1 = 0.

Для второй гармоники стоячей волны, т.е. при i = 2, с λ_2ст длиной стоячей волной, равной

λ_2ст = L, которой соответствует λ₂ длина бегущей волны, равная (2.128) λ₂ =2L, существуют

(рис. 02.0.30) две пучности этой стоячей волны со (2.136) следующими координатами: y_п0 = 3L/4 при m= 0; y_п1 = L/4 при m_max = i - 1 = 1. (2.137)

Стоячая волна в непоглощающей упругой среде: уравнения скорости смещений и относительной деформации частиц упругой среды относительно положений равновесия

Первая ∂ s/ ∂ t производная (2.122) по t времени отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны (рис. 02.0.27) в закрытой с правой стороны трубе характеризует скорость смещения этих частиц упругой среды в произвольные моменты t времени и в произвольной y координате, вследствие чего имеет место следующее выражение для этой первой

∂ s/ ∂ t производной по t времени: ∂ s/ ∂ t = - 2Aω_isink_i(L - y)cos(ω_it - k_iL), (2.138) где ω_i = 2π v /λ_i - циклическая (2.70) частота колебаний частиц упругой среды в режиме стоячей волны i - ой гармоники, имеющей (2.128) λ_i длину бегущей волны.

При подстановке в sink_i(L - y) амплитудной части (2.138) выражения ∂ s/ ∂ t первой производной по t времени (2.122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия, например,

(рис. 02.0.27) в закрытой с правой стороны трубе в режиме стоячей волны волнового k_i =2π/λ_i числа и λ_i =4L/(2i - 1) длины (2.129) i - ой гармоники бегущей волны, а также координат y_ym (2.129) узлов стоячей волны, эта sink_i(L - y) амплитудная часть выражения (2.136) превращается в ноль. Это соответствует свойствам стоячей волны, а именно в узлах этой стоячей волны s = s(y, t) смещения частиц упругой среды относительно положения равновесия в произвольный момент t времени отсутствуют, т.е. ∂ s/ ∂ t скорость смещения этих частиц упругой среды в произвольные моменты

t времени в узлах стоячей волны равны нулю.

При подстановке в sink_i(L - y) амплитудной части (2.138) выражения ∂ s/ ∂ t первой производной по t времени (2.122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны волнового k_i =2π/λ_i числа и λ_i =4L/(2i - 1) длины (2.127) i - ой гармоники бегущей волны, а также y_пm координат (2.134) пучностей стоячей волны, эта sink_i(L - y) амплитудная часть выражения (2.137) превращается в единицу. Поэтому в пучностях стоячей волны ∂ s/ ∂ t скорость

s смещения частиц упругой среды от положения равновесия в режиме (2.122) стоячей волны максимальны и имеют амплитуду (2.137) этих отклонений, равную 2Aω_i.

Первая ∂ s/ ∂ y производная по y координате (2.122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны (рис. 02.0.27) в закрытой с правой стороны трубе характеризует (2.91) ε = ∂ s/ ∂ y относительную деформацию этой упругой среды, которая численно равна значению длины, на которую расширился или сжался рассматриваемый объем упругой средыпри распространении в нём продольной волны, отнесённый к единице длины этого объема упругой среды, вследствие чего имеет место следующее выражение для этой первой ∂ s/ ∂ y производной по y координате: ∂ s/ ∂ y = - 2k_iAcosk_i(L - y) sin(ω_it - k_iL), (2.139) где ω_i = 2π v /λ_i - циклическая (2.70) частота колебаний частиц упругой среды в режиме стоячей волны i - ой гармоники, имеющей (2.128) λ_i длину бегущей волны.

При подстановке в cosk_i(L - y) амплитудной части (2.139) выражения ∂ s/ ∂ y первой производной по y координате (2.122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия, например, (рис. 02.0.27) в закрытой с правой стороны трубе в режиме стоячей волны волнового

k_i =2π/λ_i числа и λ_i =4L/(2i - 1) длины (2.127) i - ой гармоники бегущей волны, а также координат y_ym (2.129) узлов стоячей волны, эта cosk_i(L - y) амплитудная часть выражения (2.139) превращается в единицу. Поэтому в узлах стоячей волны (2.90) ε = ∂ s/ ∂ y относительная деформация упругой среды максимальна и имеет амплитуду, равную (2.139) 2Ak_i.

При подстановке в cosk_i(L - y) амплитудной части (2.139) выражения ∂ s/ ∂ y первой производной по y координате (2.122) отклонения s = s(y, t) частиц упругой среды от положения равновесия в режиме стоячей волны волнового k_i =2π/λ_i числа и λ_i =4L/(2i - 1) длины (2.127) i - ой гармоники бегущей волны, а также координат y_пm (2.134) пучностей стоячей волны, эта cosk_i(L - y) амплитудная часть выражения (2.139) превращается в нулю. Поэтому в пучностях стоячей волны (2.90) ε = ∂ s/ ∂ y относительная деформация упругой среды отсутствует.