Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постояннымиКоэффициентами.
10.1. Уравнения с правой частью специального вида. Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения. Различают следующие случаи: I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: где - многочлен степени m. Тогда частное решение ищется в виде: Здесь Q(x) - многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение . Решим соответствующее однородное уравнение: Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше. Частное решение ищем в виде: , где Т.е. Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Итого, частное решение:
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m 1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m - большая из степеней m1 и m2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию. Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений и
Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом. Пример. Решить уравнение
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (- sin x). Составим и решим характеристическое уравнение:
1. Для функции f1 (x) решение ищем в виде . Получаем: Т.е.
Итого:
2. Для функции f2 (x) решение ищем в виде: . Анализируя функцию f2 (x), получаем:
Таким образом,
Итого: Т.е. искомое частное решение имеет вид: Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример. Решить уравнение Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Общее решение однородного уравнения: Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде: Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Подставляя в исходное уравнение, получаем: Частное решение имеет вид: Общее решение линейного неоднородного уравнения: Пример. Решить уравнение
Характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения: Частное решение неоднородного уравнения: . Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение: Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
|