Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Нормальные системы линейных однородных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами.
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.
Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде: (2)
Решения системы (2) обладают следующими свойствами:
1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu, где C = const – тоже являются решениями этой системы. 2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы.
Решения системы ищутся в виде: Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем: Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.: В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2): Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2): Пример. Найти общее решение системы уравнений: Составим характеристическое уравнение: Решим систему уравнений: Для k1: Полагая (принимается любое значение), получаем:
Для k2: Полагая (принимается любое значение), получаем: Общее решение системы:
Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение: Подставим в это выражение производную у¢ = 2 x + 2 y из второго уравнения.
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
Обозначив , получаем решение системы:
Пример. Найти решение системы уравнений Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х). Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем: Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: . С учетом первого уравнения, получаем: Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение однородного уравнения:
Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле Общее решение неоднородного уравнения:
Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем: Пример. Найти решение системы уравнений:
Составим характеристическое уравнение:
1) k = -1. Если принять g = 1, то решения в этом случае получаем:
2) k2 = -2. Если принять g = 1, то получаем:
3) k3 = 3. Если принять g = 3, то получаем:
Общее решение имеет вид:
ГЛАВА 10. РЯДЫ
|