Пример 11.2. Распределение тракторов по лесхозам

Управление по лесам субъекта Федерации приобрело 7 лесохозяйственных тракторов, которые следует распределить между пятью лесхозами. Каждый из лесхозов F_i, i=1,2,...,5 при поступлении в него тракторов в количестве u повышает уровень технической готовности машинно-тракторного парка, зависящий от u, т.е. представляющий собой какую-то функцию f_i(u). Все функции f_i(u), i=1,2,...,5 заданы (табл. 11.1). Как главный инженер управления должен распределить закупленную технику, чтобы в сумме они дали максимальное повышение технической готовности по управлению?

Таблица 11.1

Хотя задача в своей постановке не содержит упоминания о времени, операцию распределения средств мысленно можно развернуть в какой-то последовательности, считая за первый шаг отправку тракторов в лесхоз F₁, за второй - в F₂ и т.д.

Управляемая система в данном случае - трактора, которые распределяются. Состояние системы перед каждым шагом характеризуется одним числом, которое обозначает количество еще нераспределенных машин. Шаговыми управлениями являются число тракторов u₁, u₂,..., u_m, выделяемых лесхозам. Требуется найти оптимальное управление, т.е. такую совокупность чисел u₁^*, u₂^*,..., u_m^*, которая дает максимальное повышение уровня технической готовности машинно-тракторного парка по управлению в целом, что эквивалентно следующему выражению:

W= W₁+W₂+...+W₅ = f₁(u₁) + f₁(u₁) +... + f₅(u₅) ® max.

Начнем оптимизацию с пятого лесхоза (шага). Пусть остаток тракторов к этому шагу s. Очевидно, что необходимо все s тракторов передать лесхозу F₅. Поэтому условное оптимальное управление на пятом шаге

u₅(s) = s,

а условный оптимальный выигрыш

W₅(s) = f₅(s).

Задаваясь целой гаммой значений s = 1, 2,...7 по табл. 11.1 (функция технической готовности f_i(u)) для каждого значения s, определим u₅(s) и W₅(s):

u₅(0)= 0; W₅(0)=0,70;

u₅(1)= 1; W₅(1)=0,76;

u₅(2)= 2; W₅(2)=0,80;

u₅(3)= 3; W₅(3)=0,85;

u₅(4)= 4; W₅(4)=0,88;

u₅(5)= 5; W₅(5)=0,91;

u₅(6)= 6; W₅(6)=0,93;

u₅(7)= 7; W₅(7)=0,94.

Полученные данные занесем в табл. 11.2. Последний шаг оптимизирован.

Таблица 11.2

Перейдем к предпоследнему, четвёртому, лесхозу (шагу). Пусть имеем s нераспределенных тракторов. Обозначим W₄(s) условный оптимальный выигрыш на двух последних шагах: четвёртый и пятый (который уже оптимизирован). Если выделить на четвёртом шаге четвёртому лесхозу u тракторов, то на последний шаг останется s-u. Следовательно, выигрыш на двух последних шагах будет равен

W₄(s) = f₄(u) + W₅(s-u).

Вновь задаваясь целой гаммой значений s = 1, 2,...7 и используя данные табл. 11.1 для каждого значения s, определим u₄(s), W₄(s) и выделим максимальное значение, что и является оптимальным выигрышем за два последних шага:

· s=0: u₄(0)= 0; W₄(0)=0,88+0,70= 1,58;

· s=1: u₄(1)= 1; W₄(1)=0,91+0,7=1,61; u₄(1)= 0; W₄(1)=0,88+0,76= 1,64;

· s=2: u₄(2)= 2; W₄(2)=0,92+0,7=1,62; u₄(2)= 1; W₄(2)=0,91+0,76=1,67; u₄(2)= 0; W₄(2)=0,88+0,80= 1,68;

· s=3: u₄(3)= 3; W₄(3)=0,93+0,7=1,63; u₄(3)= 2; W₄(3)=0,92+0,76=1,68; u₄(3)= 1; W₄(3)=0,91+0,80=1,71; u₄(3)= 0; W₄(3)=0,88+0,85= 1,73;

· s=4: u₄(4)= 4; W₄(4)=0,94+0,7=1,64; u₄(4)= 3; W₄(4)=0,93+0,76=1,69; u₄(4)= 2; W₄(4)=0,92+0,80=1,72; u₄(4)= 1; W₄(4)=0,91+0,85= 1,76; u₄(4)= 0; W₄(4)=0,88+0,88= 1,76;

· s=5: u₄(5)= 5; W₄(5)=0,95+0,7=1,65; u₄(5)= 4; W₄(5)=0,94+0,76=1,70; u₄(5)= 3; W₄(5)=0,93+0,80=1,73; u₄(5)= 2; W₄(5)=0,92+0,85=1,77; u₄(5)= 1; W₄(5)=0,91+0,88= 1,79; u₄(5)= 0; W₄(5)=0,88+0,91= 1,79;

· s=6: u₄(6)= 6; W₄(6)=0,95+0,7=1,65; u₄(6)= 5; W₄(6)=0,95+0,76=1,71; u₄(6)= 4; W₄(6)=0,94+0,80=1,74; u₄(6)= 3; W₄(6)=0,93+0,85=1,78; u₄(6)= 2; W₄(6)=0,92+0,88=1,80; u₄(6)= 1; W₄(6)=0,91+0,91= 1,82; u₄(6)= 0; W₄(6)=0,88+0,93=1,81;

· s=7: u₄(7)= 7; W₄(7)=0,95+0,7=1,65; u₄(7)= 6; W₄(7)=0,95+0,76=1,71; u₄(7)= 5; W₄(7)=0,95+0,80=1,75; u₄(7)= 4; W₄(7)=0,94+0,85=1,79; u₄(7)= 3; W₄(7)=0,93+0,88=1,82; u₄(7)= 2; W₄(7)=0,92+0,91=1,83; u₄(7)= 1; W₄(7)=0,91+0,93= 1,84; u₄(7)= 0; W₄(7)=0,88+0,94=1,82.

В табл. 11..2 приведены результаты условной оптимизации на четвёртом шаге.

Далее оптимизируем третий и второй шаги по (11.6):

W_i (s) = max {f_i(u) + W_i+1(s-u)}

и записываем соответствующее ему условное оптимальное управление u_i(s) (значение u, при котором этот максимум достигается) в табл. 4.2.

Продолжая таким образом, дойдем, наконец, до первого лесхоза F₁. Здесь нам не нужно будет варьировать значения s, так как число тракторов перед первым шагом равно 7:

W^* = W₁(7) = max {f₁(u) + W₂(7-u)}= 4,43.

Таким образом, максимальное повышение коэффициента технической готовности по всем лесхозам найден. Теперь остается только считать рекомендации. Максимум технической готовности машинно-тракторного парка достигается при отправке 3-х тракторов в первый лесхоз. После первого шага остается 7-3=4 трактора. Считывая рекомендацию для этого значения по табл. 4.2, выделяем второму лесхозу оптимальное число тракторов - 1, третьему - 0, четвертому - 0 и, наконец, пятому - 3.