Стохастическое программирование

Постановка задачи

При перспективном и оперативном планировании работы лесопромышленного предприятия возникает необходимость в учете ряда случайных факторов, существенно влияющих на процесс производства. К таким факторам относятся спрос, который не всегда может быть предсказуем, непредусмотренные сбои в поступлении сырья, энергии, рабочей силы, неисправности и аварии оборудования. Еще больше случайных факторов необходимо учитывать при планировании лесохозяйственного производства, эффективность которого зависит от климатических условий, урожайности и т.д. Поэтому задачи планирования лесного производства целесообразно ставить и исследовать в терминах и понятиях стохастического программирования, когда элементы задачи линейного программирования (матрица коэффициентов A, вектора ресурсов b, вектора оценок c) часто оказываются случайными. Подобного типа задачи ЛП принято классифицировать как задачи стохастического программирования (СП).

Подходы к постановке и анализу стохастических задач существенно различаются в зависимости от последовательности получения информации - в один прием или по частям. При построении стохастической модели важно также знать, необходимо ли принять единственное решение, не подлежащее корректировке, или можно по мере накопления информации один или несколько раз корректировать решение. В соответствии с этим в стохастическом программировании исследуются одноэтапные, двухэтапные и многоэтапные задачи.

В одноэтапных задачах решение принимается один раз и не корректируется. Они различаются по показателям качества решения (по целевым функциям), по характеру ограничений и по виду решения.

Задача СП может быть сформулирована в M- и P- постановках по отношению к записи целевой функции и ограничений.

Случайные элементы вектора с (целевая функция).

При M-постановке целевая функция W записывается в виде

, (12.1)

что означает оптимизацию математического ожидания целевой функции. От математического ожидания целевой функции можно перейти к математическому ожиданию случайной величины c_j

. (12.2)

При P-постановке имеем:

· при максимизации

где

W_min - предварительно заданное допустимое наихудшее (минимальное) значение целевой функции.

· при минимизации

где

W_max - предварительно заданное допустимое наихудшее (максимальное) значение целевой функции.

Суть P-постановки заключается в том, что необходимо найти такие значения x_j, при которых максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже предельно допустимого значения.

Ограничения задачи, которые должны выполняться при всех реализациях параметров условий задачи, называются жесткими ограничениями. Часто возникают ситуации, в которых постановка задачи позволяет заменить жесткие ограничения их усреднением по распределению случайных параметров. Такие ограничения называют статистическими:

В тех случаях, когда по содержательным соображениям можно допустить, чтобы невязки в условиях не превышали заданных с вероятностями, небольшими a_i>0, говорят о стохастических задачах с вероятностными ограничениями:

т.е. вероятность выполнения каждого заданного ограничения должна быть не менее назначенной величины a_i. Параметры a_i предполагаются заданными или являются решениями задачи более высокого уровня.

Представленные задачи как в M-, так и в P- постановках непосредственно решены быть не могут. Возможным методом решения этих задач является переход к их детерминированным эквивалентам. В основе этого перехода лежит использование закона распределения случайной величины. В инженерной практике наиболее часто используется нормальный закон распределения, поэтому дальнейшие зависимости приведем для этого случая.

Принимаем, что a_ij, b_i, c_j подчинены нормальному закону распределения. В этом случае будут справедливы следующие детерминированные постановки:

· P - постановка целевой функции, максимизация:

где

и s_j - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины c_j.

· P - постановка целевой функции, минимизация:

· Вероятностные ограничения:

где

- соответственно, математические ожидания и дисперсии случайных величин a_ij и b_i;

- значение центрированной нормированной случайной величины в нормальном законе распределения, соответствующей заданному уровню вероятности соблюдения ограничений a_i.

Сделаем несколько замечаний к приведенным зависимостям:

· задача стохастического программирования сведена к задаче нелинейной оптимизации и может быть решена одним из рассматриваемых ранее методов;

· сравнение ограничения ресурса в стохастическом программировании с аналогичным ограничением в задаче линейного программирования показывает, что учет случайного характера величин a_ij и b_i приводит к уменьшению располагаемого ресурса на величину

,

т.е. к необходимости в дополнительном ресурсе. Однако этот дополнительный ресурс может оказаться неиспользованным, но для гарантированного выполнения плана его иметь необходимо.