Непрерывность функции в точке

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существуют конечные пределы слева и справа функции в точке ; 3) эти пределы равны и равны значению функции в точке , т. е.

.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в любой точке области определения, т. е. в любой точке .

Решение. Дадим аргументу приращение в точке и найдем приращение функции :

.

Следовательно,

.

Таким образом, , а это и означает, что функция непрерывна в точке .

Пример 2. Исследовать на непрерывность в точке следующие функции:

а) ; б)

Решение:

а) функция определена в окрестности точки , но в самой точке она не определена, следовательно, в этой точке она не является непрерывной (не выполнено первое условие непрерывности);

б) для исследования на непрерывность воспользуемся определением 2.
В точке функция определена (), т. е. первое условие непрерывности выполнено; второе условие также выполняется: ; ; третье условие непрерывности не выполняется, так как . Следовательно, данная функция также не является непрерывной в точке .