Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основные правила дифференцирования





Теорема 1. Если функции u = u (x) и v = v (x) дифференцируемы в точке х, то функции u + v, uv, дифференцируемы в этой точке, причем:

1) R;

2)

3) ;

4)

Теорема 2 (производная сложной функции). Если функция g (x) дифференцируема в точке х 0, а функция f (у) дифференцируема в точке у 0 = g (x 0), то сложная функция f (g (x)) дифференцируема в точке х 0 и

или .

 

Таблица основных производных

1) с' = 0, с R;

2) х ' =1;

3) (хn)' = nxn-1, n R;

4) (ах)' = ах ln а, 0 < a ¹ 1;

5) (ex)' = ex;

6) 0 < a ¹ 1, х > 0;

7) х > 0;

8) (sin x)' = cos x;

9) (cos x)' = – sin x;

10) N;

11) N;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Пример 3. Найти уравнения касательной и нормали к графику функции f (x)= 3 х 2 + 4 в точке х 0 = 2.

Решение

Найдем производную функции f (x): f ' (x) = 6 х.

Для того чтобы составить уравнения касательной и нормали (4) и (5), необходимо найти значения функции и ее производной в точке х 0 = 2:

f (2) = 3 × 22 + 4 = 16,

f ' (2) = 6 × 2 = 12.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

у = 12 (х – 2) + 16,

уравнение нормали:

Ответ: у = 12 (х – 2) + 16,

Пример 4. Найти производные функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

В примере г) мы вначале взяли производную степенной функции, затем производную sin 8 x, а в конце производную 8 х.

Логарифмическое дифференцирование.
Производная неявной функции.
Производные высших порядков

 

Логарифмическое дифференцирование применяют тогда, когда нужно найти производную выражения, содержащего произведения, корни, степени, то есть выражения, которое легко логарифмируется, а также для нахождения производной степенно-показательной функции u (x) v ( x ).

Пример 5. Найти производную функции:

а) ;

б) .

Решение:

а) прологарифмируем функцию у

Находим производную левой и правой частей данного выражения, учитывая, что :

Þ

б) прологарифмируем степенно-показательную функцию (степенно-показательная функция – это функция, у которой функциями являются и основание, и показатель степени):

.

Находим производную левой и правой частей данного выражения:

.

Функция называется заданной неявно, если она представлена в виде

F (x, y) = 0,

то есть «у» не выражен явно, или его, в принципе, нельзя выразить явно через х. В этом случае производная находится, учитывая, что «у» – функция. Например, .

Пример 6. Найти производную:

Решение

Продифференцируем данное выражение

Þ

Второй производной от функции у = f (x) называется производная от ее первой производной у' = f ' (x). Обозначается вторая производная следующим образом: у'', f '', Аналогично определяются производные третьего и более высоких порядков. Например, производная сотового порядка обозначается как у (100) или .

Пример 7. Найти производные функции

Решение:

у' = 20 х 4 + 4 х,

у'' = 80 х 3 + 4,

у''' = 240 х 2,

у (4) =

у (5) = 480,

у (6) = 0.

Заметим, что для степенной функции количество производных, отличных от нуля, равно наивысшей степени функции. В данном примере пять производных не равны нулю.

 

 

Date: 2016-07-25; view: 301; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию