Задачи для самостоятельного решения

1. Определить размерность следующих матриц:

.

2. Найти если .

3. Найти и установить, существует ли , если

.

4. Найти если .

5. Показать, что если .

6. Решить матричное уравнение

где .

7. Показать, что ,

где – единичная матрица.

8. Дано , .

Найти и показать, что

.

Определитель матриц

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц . Определитель обозначается или .

Определитель первого порядка матрицы равен ее элементу, т. е. .

Определителем второго порядка матрицы называется число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, т. е.

. (1.1)

Определителем третьего порядка матрицы называется число, вычисляемое по формуле

. (1.2)

Чтобы составить выражение (1.2), используют символическое правило треугольников (правило Саррюса):

Минором элемента квадратной матрицы А п -го порядка называется число, равное определителю (п- 1)-го порядка матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число, равное

.

Определителем п -го порядка матрицы называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

, (1.3)

или

. (1.4)

Формулы (1, 3), (1, 4) называются формулами Лапласа разложения определителя по элементам i-й строки, j-го столбца соответственно.

Определитель матрицы не зависит от выбора строки (столбца), по которой идет разложение.