Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Показательная функция. Степень с иррациональным показателем.
Зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому числу число . Тем самым получим числовую функцию f(x) = ax, определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую ранее перечисленными свойствами. При а=1 функция f(x) = axпостоянна, так как 1x=1 для любого рационального х.
Нанесем несколько точек графика функции у =2x предварительно вычислив с помощью калькулятора значения 2x на отрезке [—2; 3] с шагом 1/4 (рис. 1, а), а затем с шагом 1/8 (рис. 1, б).Продолжая мысленно такие же построения с шагом 1/16, 1/32 и т. д., мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой и принимающей значения в рациональных точках (рис. 1, в). Построив достаточно большое число точек графика функции , можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что функция убывает на R). Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2α и для каждого иррационального α, что функции, задаваемые формулами y=2x и будут непрерывными, причем функция у=2x возрастает, а функция убывает на всей числовой прямой. Опишем в общих чертах, как определяется число aα для иррациональных α при а>1. Мы хотим добиться того, чтобы функция у = ax была возрастающей. Тогда при любых рациональных r1 и r2, таких, что r1<α<r2, значение aα должно удовлетворять неравенствам ar1<аα<аr1. Выбирая значения r1 и r2, приближающиеся к х, можно заметить, что и соответствующие значения ar1 и ar2 будут мало отличаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех ar1 для всех рациональных r1и меньше всех ar2 для всех рациональных r2. Это число у по определению есть аα. Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2x в точках хn и х`n, где хn и х`n — десятичные приближения числа мы обнаружим, что, чем ближе хn и х`n к , тем меньше отличаются 2xn и 2x`n. Так как , то
и, значит,
Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближения по недостатку и избытку, приходим к соотношениям ;
;
;
;
.
Значение вычисленное на калькуляторе, таково: .
Аналогично определяется число aα для 0<α<1. Кроме того полагают 1α=1 для любого α и 0α=0 для α>0.
|