Интегрирование по частям

Данный метод основан на правиле дифференц. Произвед. 2-х функций и используется в том случае, когда подынтегральная функция как правило представлена в виде произвед. 2-х функций.

Пусть u (x) и v (x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим

или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям

. Основные случаи, когда применяется данный способ интегрирования:
1) подинтегральная функция содержит произведение многочлена от x на показательную функцию от x или произведение многочлена от x на sin(x) илиcos(x), или произведение многочлена от x на ln(x);
2) подинтегральная функция представляет собой одну из обратных тригонометрических функций arcsin(x), arccjs(x) и т.д.;
3) подинтегральная функция есть произведение показательной функции на sin(x) или cos(x).
Пример: необходимо найти интеграл

Положим u = x, dv = sin(x)dx. Тогда du = dx, v = -cos(x). Отсюда