Задачи для самостоятельного решения.

В задачах 1 5 восстановить область интегрирования и изменить порядок интегрирования; сделать чертеж.

1. 2.

3. 4.

5.

В задачах 6 10 перейти от двойного интеграла к повторному двумя способами и сделать чертеж области интегрирования D.

6. D: x ³ y²-1; x²+y² £ 1. 7. D: y £ -x+2; y ³ x -2; 0 £ x £ 1

8. D: y £ x²+1; y ³ 0; -1 £ x £ 1. 9. D: y ³ x; y ³ -x; y £ -x²+2.

10. D: y £ x; x²+y² £ 2x; y ³ 0.

11. Найти абсциссу х_с центра масс однородной пластины, ограниченной линиями х²+у²=2у, х²+у²=4, у=0 (х ³ 0).

12. Найти площадь области, заданной неравенствами: х²+у² ³ 2; х²+у² £ 2у.

13. Найти площадь части поверхности конуса z²=3х²+3y², содержащейся между цилиндром х²+у²=4 и плоскостью у=1 (у ³ 1, z ³ 0).

14. Найти момент инерции относительно оси Оу пластины, заданной неравенствами х²+у²£2х, х ³ 1, у ³ 0, если ее плотность

15. Найти массу пластины, ограниченной линиями: х²+у²=1, х+у=1 (х ³ 0), если ее плотность

16. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного цилиндром z=у²+2 и плоскостями у=0, z=0, у-х=1, у+х=1.

17. Найти площадь поверхности части цилиндра лежащую между плоскостями z=2, у=х, у=2х (х³0).

18. Найти момент инерции относительно оси Ох однородной пластины (плотность =1), ограниченной линиями у=е^х, х=0, х=1, у=0.

19. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями у=х², z=х²+у², у=1, z=0.

20. Найти массу пластины, ограниченной линиями у=–х²+1, у=х+1, у=3х-3, если ее плотность

21. Найти массу тела, ограниченного поверхностями z=8-х²-у², х+у=2, х=0, у=1, z=0 и имеющего плотность

22. Найти массу тела, ограниченного поверхностями (z-4)²=x²+y², y=1-x², y=0, z=0 и имеющего плотность

23. Найти массу тела, ограниченного поверхностями х+у+z=2, у=0, z=0 и имеющего плотность =2.

24. Найти массу тела, ограниченного поверхностями z=4-х², z=0, у=1 и имеющего плотность

25. Найти массу тела, ограниченного поверхностями х+у+z=4, х+у-z=4, х=0, у=0 и имеющего плотность m=5+z.

26. Найти массу тела, ограниченного поверхностями z=1-x², х²+у²=2у, х=0, z=0 (х ³ 0) и имеющего плотность

27. Найти массу тела, ограниченного поверхностями х²+у²=(z-2)², z=0, х=1 и имеющего плотность

28. Найти массу тела, ограниченного поверхностями х²+у²=2х, х²+у²+z²=4
(х ³ 0) и имеющего плотность =1.

29. Найти массу тела, ограниченного поверхностями z= х²+у²-1, х+у=2, х=0, у=0, z=0 и имеющего плотность, заданную выражением

30. Найти массу тела, ограниченного поверхностями х²+у²-z²=–1, х²+у²=1, у=х, у=–х, х=2 и имеющего плотность

В задачах 31 35 изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и изобразить область интегрирования графически.

31. 32.

33. 34.

35.

В задачах 36 40 расставить двумя способами пределы интегрирования в повторном интеграле по заданной области D. Сделать чертеж.

36. D: y ³ x; 2x+y ³ 0; y £ 2. 37. х²+у² £ 25; 0 £ x £ 3.

38. D: x+y ³ 0; х²+у² £ 4; x ³ 0. 39. D: x ³ y²; x+2y³0; x £ 4.

40. D: y £ x+1; x £ 1-y².

В задачах 41 45 с помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

41. х=0, у=0, z=0, х=3, у=3, z=х²+у².

42. х=0, z=0, z=4-х²-у².

43. х=0, z=0, 4х+3у=12,

44. х=0, z=0, 2х+у=4, z=4-х².

45. х=0, у=0, z=0; х=4, у=4, х+у+z=8.

46. Найти площадь части поверхности х²+у²+z²=25, вырезанной поверхностями х²+у²=16 и у=0 (у ³ 0). При вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам.

47. Найти площадь части поверхности 8z=х²+у², вырезанной поверхностями х²+у²=9, у=0, у=х (х ³ 0, у ³ 0).

48. Найти площадь части поверхности z²= х²+у², вырезанной поверхностями z=1, z =4.

49. Найти площадь части поверхности 8z=9- х²-y², расположенной в первом октанте
(х ³ 0, у ³ 0, z ³ 0). При вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам.

50. Найти площадь части поверхности х²+у²+z²=169, вырезанной поверхностями z=5 и z=12.

В задачах 51 60 найти массу тела, имеющего плотность и ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж.

51. x=0, y=0, z=0, x+y+z=3; =y.

52. x=0, y=0, z=0, x+y+z=6; =z.

53. z=9-x²-y², x=0, z=0(x³0); =x (перейти к цилиндрическим координатам).

54. z=x²+y², z=4; =z.

55. z=5-x²-y², z=1; =x²+y² (перейти к цилиндрическим координатам).

56. x²+y²+z²=25, x=0, y=0, z=3; =z (z³3);

перейти к цилиндрическим координатам.

57. z²=x²+y², x=0, y=0, z=2 (x³0, y³0); =xy;

перейти к цилиндрическим координатам.

58. x²+y²+z²=4, x²+y²=4, z=2 (z³0); =z;

перейти к цилиндрическим координатам.

59. x²+y²+z²=9, x²+y²+z²=1; ;

перейти к сферическим координатам.

60. x²+y²+z²=4, z²=x²+y², ;

перейти к сферическим координатам.

В задачах 61 65 изменить порядок интегрирования в повторном интеграле; сделать чертеж области интегрирования.

61. 62.

63. 64.

65.

В задачах 66 70 перейти от двойного интеграла к повторному двумя способами; сделать чертеж области интегрирования D, заданной системой неравенств.

66. 67.

68. 69.

70.

71. Найти площадь части поверхности вырезанной поверхностями х=2, у=х, у=2х.

72. Найти площадь части поверхности у+z=9, вырезанной поверхностями у=х²и z=0 при z³0.

73. Найти площадь части поверхности вырезанной поверхностями х²+у²=3 и х=0 при х³0.

74. Найти площадь части сферы вырезанной поверхностями у=0, z=0 и расположенной в первом октанте.

75. Найти площадь части поверхности заключенной между плоскостями z=1, z=3, у=0 при у³0.

В задачах 76 80 необходимо найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

76.

77.

78.

79.

80.

В задачах 81 83 вычислить двойной интеграл по области ; сделать чертеж области .

81.

82.

83.

84. Перейти от двойного интеграла к повторному, взяв за переменную интегрирования во внутреннем интеграле переменную х, если
D: х³ £ у £ 1, х+у ³ –2. Сделать чертеж области

85. Условия задачи 84, но внутреннее интегрирование произвести по переменной у.

86. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле . Сделать чертеж области интегрирования.

87. Вычислить D: у=х², у=2-х; сделать чертеж области интегрирования

88. Найти площадь области D, заданной системой неравенств:

Расставить двумя способами пределы интегрирования, если область интегрирования в задачах 89,90 задана системой неравенств; сделать чертеж.

89.

90.

В задачах 91 100 вычислить двойной интеграл по области D, заданной системой неравенств.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

В задачах 101 111 расставить двумя способами пределы интегрирования в двукратном интеграле при заданной области интегрирования D; сделать чертеж области D.

101. D: x=3; x=5; 3x-2y+4=0; 3x-2y+1=0.

102. D: x=0; y=0; x+y=2.

103. D: x²+y²£1; x³0; y³0.

104. D: x+y£1; x-y£1; x³0.

105. D: y³x²; y£4-x².

106. D: 9x²+4y²£36.

107. D: (x-2)²+(y-3)²£4.

108. D: y=x²; y=

109. D: y=x; y=2x; x+y=6.

110. D: y=x; y=x+3; y=–2x+1; y=–2x+5.

111. D: y²-x²=1; x²+y²=9.

В задачах 112 124 изменить порядок интегрирования в повторном интеграле; построить область интегрирования.

112. 113.

114. 115.

116. 117.

118.

119.

120.

121.

122.

123.

124.

В задачах 125 130 вычислить двойной интеграл; сделать чертеж области интегрирования D.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

В задачах 131 140 вычислить площадь области интегрирования D в двойном интеграле; область D задана уравнениями ограничивающих ее линий в плоскости хОу; построить область графически.

131. xy=4; y=x; x=4. 132. y=x²; 4y=x²; y=4.

133. y=x²; 4y=x²; x=±2. 134. y²=4+x; x+3y=0.

135. y=lnx; x-y=1; y=–1. 136. y=sinx; y=cosx; x=0.

137. y=x²; y=x+2. 138. y=4-x²; y=x+2.

139. x=4. 140. x £ y;

В задачах 141 147 вычислить двумя способами двойной интеграл по заданной области интегрирования D; построить D.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

В задачах 148 150 изменить порядок интегрирования в повторном интеграле; сделать чертеж области интегрирования.

148. 149.

150.

В задачах 151 160 вычислить площадь области интегрирования D в двойном интеграле; область D задана уравнениями ограничивающих ее линий в плоскости хОу или системой неравенств; сделать чертеж области D.

151. x=4y-y²; x+y=6.

152. y=2-x²; y=x.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

161. Привести к повторному двумя способами, если D: 2y=x, y=2x, x=p; сделать чертеж D.

162. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

163. Вычислить

164. Вычислить площадь области

165. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z=4-x², y=0, y=3, z=0.

166. Вычислить массу пластинки D:y=x, y=x+3, x=0, x=1, если ее плотность (х,у) равна в каждой точке сумме координат точки.

167. Вычислить статический момент относительно оси Ох пластины D, ограниченной линиями: у=х, у=х+3, х=0, х=1, если ее плотность (х,у) равна в каждой точке сумме координат точки.

168. Вычислить статический момент относительно оси ординат пластины D, ограниченной линиями: у=х, у=х+3, х=0, х=1, если ее плотность (х,у) равна в каждой точке сумме координат точки.

169. Вычислить координаты центра масс пластины D, ограниченной линиями: у=х, у=х+3, х=0, х=1, если ее плотность (х,у) равна в каждой точке сумме координат точки.

170. Найти момент инерции относительно оси абсцисс пластины D, ограниченной линиями: у=х, у=х+3, х=0, х=1, если ее плотность (х,у) равна в каждой точке сумме координат точки.

171. Найти момент инерции относительно оси ординат пластины D, ограниченной линиями: у=х, у=х+3, х=0, х=1, если ее плотность (х,у) равна в каждой точке сумме координат точки.

172. Найти момент инерции относительно начала координат пластины D, ограниченной линиями: у=х, у=х+3, х=0, х=1, если ее плотность (х,у) равна в каждой точке сумме координат точки.

В задачах 173 176 перейти от двойного интеграла к повторному для заданной области интегрирования D двумя способами. Сделать чертеж D.

173. D: x+y=7; xy=6. 174. D: y=x²; 4-y=x².

175. D: y²=4-x; y²=x. 176. D: x=0; x=1; y=1.

В задачах 177 180 изменить порядок интегрирования в повторном интеграле. Сделать чертеж области D.

177. 178.

179. 180.

В задачах 181 184 вычислить для заданных D и f(x,y). Сделать чертеж области D.

181.

182.

183.

184.

185. Вычислить массу пластины D с вершинами в точках (0;0), (;0), (0;1), если плотность (х,у) равна в каждой точке квадрату расстояния от точки до вершины прямого угла.

186. Вычислить статический момент S_х пластины из задачи 185.

187. Вычислить статический момент S_y пластины из задачи 185.

188. Вычислить абсциссу центра масс пластины из задачи 185.

189. Вычислить ординату центра масс пластины из задачи 185.

190. Определить момент инерции I_х фигуры, ограниченной линиями у=2х-х², у=х², если плотность в каждой точке численно равна ее ординате.

191. Определить момент инерции I_у пластины из задачи 190.

192. Определить момент инерции I₀ пластины из задачи 190.

193. Вычислить D: x²+y²=1.

194. Вычислить D: x²+y²=1, x²+y²=4.

195. Привести к трехкратному, если V: z=x²+y², z=2-x²-y².

196. Вычислить ; V: z=y², z+2x=6, x=0, z=4.

197. Вычислить объем тела, образованного поверхностями y=2x², z=0, z=3, 3y+2z=12.

198. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

199. Вычислить статический момент относительно плоскости хОу тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

200. Вычислить статический момент относительно плоскости хОz тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

201. Вычислить статический момент относительно плоскости уОz тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

202. Вычислить абсциссу центра масс тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

203. Вычислить ординату центра масс тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

204. Вычислить аппликату центра масс тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

205. Найти момент инерции относительно координатной плоскости хОу тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0,

z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

206. Найти момент инерции относительно координатной плоскости хОz тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0,

z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

207. Найти момент инерции относительно координатной плоскости yОz тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

208. Найти момент инерции относительно оси абсцисс тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

209. Найти момент инерции относительно оси ординат тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

210. Найти момент инерции относительно оси аппликат тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=0, y=2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z)=ху².

211. Найти момент инерции относительно начала координат тела, ограниченного поверхностями z=2x², z=3-x², x=0, y=2, y=0(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0), если в каждой точке тела плотность (х,у,z) = ху².

В задачах 212 215 заданы пространственная область V и функция f(x,y,z) в ней. Начертить область V и вычислить

212.

213.

214.

215.

216. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 2х+3у=12, 2z=у², х=0, z=0.

217. Вычислить массу тела, образованного поверхностью х-у+z=1 и координатными плоскостями, если его плотность (х,у,z) в каждой точке равна абсциссе этой точки.

218. Вычислить где V: x²+y²=1, z=x²+y², z=0.

219. Вычислить где V: x²+y²+z²=R².

220. Вычислить

221. Построить повторный интеграл для области интегрирования D: y²-x²=1, x=2,x=–2.

В задачах 222 229 вычислить интеграл.

222. 223.

224. 225.

226. 227.

228. 229.

В задачах 230 237 построить двумя способами в декартовой прямоугольной системе координат двукратный интеграл для заданных областей интегрирования D.

230. Вершины фигуры D находятся в точках: О(0;0), А(2;0), В(2;1), С(0;1).

231. Вершины фигуры D находятся в точках: О(0;0), А(1;0), В(1;1).

232. Вершины фигуры D находятся в точках: О(0;0), А(2;0), В(1;1), С(0;1).

233. Вершины фигуры D находятся в точках: А(1;2), В(2;4), С(2;7), D (1:5).

234. D – круговой сектор ОАВ с центром в точке О(0;0), у которого концы дуги: А(1;1), В(-1;1).

235. D – параболический сегмент, ограниченный параболой АОВ и отрезком прямой ВА, соединяющей точки В (-1;2) и А (1;2). Точка О (0;0).

236. D – круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов r=1 и R=2 с общим центром О (0;0).

237. D ограничена кривыми у²-х²=1, х²+у²=9 (включает начало координат).

В задачах 238 242 расставить пределы интегрирования в двукратном интеграле двумя способами, если область интегрирования D задана неравенствами.

238. D: x ³ 0, y ³ 0, x+y £ 1.

239. D: y ³ x, x ³ -1, y £ 1.

240. D: x²+y² £ a², где а=const > 0.

241. D: x²+y² £ x.

242. D: y £ x £ y+2a; 0 £ y £ a, где а=const > 0.

В задачах 243 249 изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле.

243. 244.

245. a>0. 246. a>0

247. a>0 248.

249.

В задачах 250 256 вычислить для заданных подинтегральных функций и областей интегрирования.

250. f(x,y) = x; область D задана вершинами: О (0,0), А (1,1), В (0,1), соединенными отрезками прямых линий.

251. f(x,y)=x, область D ограничена прямой, проходящей через точки А(2;0), В(0;2), и дугой окружности с центром в точке С(0;1) радиуса 1, расположенной выше этой прямой.

252. a=const >0; D –часть круга радиуса а с центром в точке О(0;0), лежащая в первой четверти.

253. D задана вершинами О(0;0), А(1;-1) и В(1;1).

254. f(x,y)= D: y²=x, x=0, y=1.

255. f(x,y)= D: y= y=x.

256. f(x,y)= D: x²+y²=1.

В задачах 257 259 расставить пределы интегрирования в полярных координатах.

257. 258. 259. D: y=x, y= –x, y=1.

260. Вычислить где D – верхний полукруг, образованный окружностью диаметром а и с центром в точке С( 0) и осью абсцисс.

261. Вычислить где D: х²+у²=2ах, а>0.

В задачах 262, 263 построить область интегрирования D, площадь которой выражается заданным интегралом.

262. 263. a>0.

В задачах 264 268 вычислить площади заданных областей интегрирования D.

264. D: x=y, x=2y, x+y=a, x+3y=a, где a>0.

265. D: y=0, y²=4ax, x+y=3a (y ³ 0).

266. D: y²=10x+25, y²=-6x+9.

267. D: x²+y²=2x, x²+y²=4x, y=x, y=0.

268. D: r=2 (x ³ 1).

269. Построить и вычислить объем тела, заданного своими вершинами: О(0;0;0), А(1;0;0), В(1;1;0), С(0;0;1).

270. Вычислить где V: 0 £ x £ 1, 0 £ y £ x, 0 £ z £ xy.

271. Найти массу тела, ограниченного поверхностями х²+у² + z²=16 (х ³ 0, у ³ 0,
z ³ 0) и 2х+3у=6, если его плотность в каждой точке (х; у; z) равна аппликате этой точки.

В задачах 272 277 вычислить интегралы.

272. 273.

274. 275. D: 1 £ x £ 2, 0 £ y £ 2.

276. D: y=x², x=y². 277. D: x=2+sin y; x=0, y=0, y=2p.

В задачах 278,279 расставить пределы интегрирования при переходе от двойного интеграла к повторному двумя способами для области интегрирования D.

278. D: x=0, x=1, y=1,

279. D: 4–угольник АВСD, где A(1;2), B(2;4), C(2;7), D(1;5).

В задачах 280 282 изменить порядок интегрирования.

280. 281. 282.

В задачах 283 285 вычислить заданный интеграл.

283.

284.

285.

286. Вычислить объем прямого бруса, ограниченного сверху поверхностью z=4-x²-y² и имеющего основанием квадрат, ограниченный в плоскости Оху прямыми, получающимися при пересечении с плоскостью Оху плоскостей х=±1, у=±1.

287. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z=0; 2-x-y-2z=0; y=x²; y=x.

288. Оси двух круговых цилиндров с одинаковыми поперечными сечениями пересекаются под прямым углом. Вычислить объем общей части этих цилиндров.

В задачах 289 298 вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

289. x²+y²=4x; z=x; z=2x. 290. z=0; y+z=2; y=x².

291. y=0; y=3-x²-z². 292. x²+y²=4x; x²+y²+z²=16.

293. y=1+x²; z=3x; y=5; z=0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0).

294. x=1; y=x; y=3x; z=0; z=x²+y².

295. y=x²; y=1; x+y+z=4; z=0.

296. z=y²-x²; z=0; y=2 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0).

297. z=4- x²-y²; 2z=2+ x²+y².

298. x²+y²+z²=R²; z=a; z=b (R>b>a>0).

299. Вычислить площадь поверхности шара.

300. Вычислить площадь части поверхности z²=4x, лежащей в первом октанте, вырезанной поверхностями у²=4x и х=1.

301. Вычислить площадь части поверхности 2у=х²+z², вырезанной поверхностью х²+z²=1.

302. Найти статический момент однородного прямоугольника со сторонами а и b относительно стороны а, считая, что прямоугольник лежит в плоскости хОу.

303. Найти статический момент однородного полукруга, лежащего в плоскости хОу, радиуса R, относительно диаметра.

304. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной в плоскости zОу линиями: ау=z² и у=2 (а>0).

В задачах 305 310 вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

305. z=4–y²; z = y² +2; x = –1; x = 2.

306. x = 6 – z² – y²; x² = y² + z² (x 0).

307. x + y +z = 4; x = 3; y = 2; x = 0; z = 0.

308. x² + y² +z² = 2z; x² + y² = z².

309. 2z = x² + y²; y + z = 4.

310. x² = 2y; y + z = 1; 2y + z = 2.

В задачах 311,312 вычислить объем пространственной области, заданной системой неравенств.

311.

312.

В задачах 313 355 найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

313.

314.

315.

316.

317.

318.

319.

320.

321.

322.

323.

324.

325.

326.

327.

328.

329.

330.

331.

332.

333.

334.

335.

336.

337.

338.

339.

(внутри цилиндров).

340.

341. (вне цилиндра).

342.

343.

344.

345. (вне цилиндра).

346.

(внутри цилиндров).

347.

348.

349.

350.

351.

352.

353.

354.

355.

В задачах 356 ¸ 359 вычислить указанный интеграл по заданной области.

356.

360. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

В задачах 361 ¸ 362 вычислить указанный интеграл, перейдя к полярным координатам.

363. Найти объем тела, вырезанного из шара радиуса R прямым круговым цилиндром диаметра R, образующая которого проходит через центр шара.

В задачах 364 ¸ 368 сделать чертеж области интегрирования и изменить порядок интегрирования.

В задачах 369 ¸ 373 перейти от двойного интеграла к повторному двумя способами; сделать чертеж области D.

В задачах 374¸ 377 найти массу пластины, ограниченной заданными кривыми и имеющей заданную плотность m. Сделать чертеж.

(при вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам).

(при вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам).

378. Найти площадь части поверхности вырезанной

поверхностями

379. Найти площадь части поверхности вырезанной поверхностями (при вычислении интеграла перейти к полярным координатам; сделать чертеж).

380. Найти площадь части поверхности вырезанной поверхностями . Cделать чертеж.

В задачах 381 ¸383 с помощью двойного интеграла вычислить объем тела, заданного неравенствами. Сделать чертеж.

(при вычислении интеграла перейти к полярным координатам).

(при вычислении интеграла перейти к полярным координатам).

В задачах 384 ¸ 393 найти массу тела, заданного неравенствами и имеющего заданную плотность m. Сделать чертеж.

(при вычислении интеграла перейти к

цилиндрическим координатам).

(при вычислении интеграла перейти к цилиндрическим координатам).

(при вычислении интеграла перейти к цилиндрическим координатам).

(при вычислении интеграла перейти к цилиндрическим координатам).

(при вычислении интеграла перейти к цилиндрическим координатам).

В задачах 394 ¸ 403 изменить порядок интегрирования в повторном интеграле. Сделать чертеж области интегрирования.

В задачах 404 ¸ 413 найти площади плоских фигур, ограниченных заданными кривыми.

Представить через повторный двумя способами, если

Вычислить

С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Вычислить тройной интеграл от по телу, ограниченному поверхностями:

В задачах 418 ¸ 527 вычислить заданный интеграл.

Перейти к полярной системе координат.

Перейти к полярной системе координат.

Перейти к полярной системе координат.

Перейти к цилиндрической системе координат.

Перейти к сферической системе координат.

Перейти к цилиндрической системе координат.

Перейти к сферической системе координат.

Перейти к полярной системе координат.

Перейти к полярной системе координат.

.

Перейти к цилиндрической системе координат.

.

Перейти к сферической системе координат.

⇐ Предыдущая37383940414243444546Следующая ⇒