В. Приложения к механике.

Приложения тройных интегралов к механике проистекают из задач, связанных с непрерывным распределением массы в пространственной области.

Пусть Т – область пространства, занимаемая каким-либо материальным телом с плотностью m(x, y, z). Тогда

а) (15)

где m – масса этого тела;

б) моменты инерции I_x, I_y, I_z относительно координатных осей Ox, Oy, Oz; I_xy, I_xz, I_yz относительно координатных плоскостей xOy, xOz, yOz; I₀ относительно начала координат, соответственно, определяются по формулам:

в) координаты центра тяжести тела находятся по формулам:

Для однородного тела (m = const) эти формулы упрощаются, т.к. в этом случае можно считать, что m = 1.

Пример 10.

Найти массу и момент инерции относительно оси Oz однородного тела Т, ограниченного поверхностями: z = 4-x²-y² и 4-2z = x² + y².

Тройной интеграл, как было указано выше, позволяет вычислить обе указанные характеристики, если известна объемная плотность тела m(x, y, z):

где h = h (x,y,z) – расстояние от текущей точки до оси, относительно которой вычисляется момент инерции, в нашем случае это ось Oz, т.е. h² = x² + y².

В случае однородного тела m(x, y, z) = const = m, и тогда:

Для вычисления указанных тройных интегралов в данной задаче удобно воспользоваться цилиндрическими координатами. Уравнения данных поверхностей в цилиндрической системе имеют вид: z = 4-r² и 4-2z = r². Решая их совместно, получим, что эти поверхности пересекаются по окружности x² + y² = 4, z = 0, или в цилиндрической системе координат: r = 2, z = 0.

Итак, данное тело ограничено двумя параболоидами вращения, которые пересекаются по окружности радиуса 2, лежащей в плоскости Oxy (рис. 12).

Ясно, что j меняется от 0 до 2p. При каждом фиксированном j величина r меняется от 0 до 2, а при фиксированных r и j величина z меняется от 2-1/2r² до 4-r² (см. рис. 13). Таким образом, имеем:

Ответ: m = 4pm(кг); (кгм²).

Пример 11.

Найти расположение центра масс однородного полушара Т. Выберем прямоугольную систему координат с началом в центре шара так, как указано на рис. 14. Ясно, что абсцисса и ордината центра масс
x_c = y_c = 0.

Для нахождения z_c воспользуемся известной формулой: В предпоследнем равенстве использована однородность тела, а в последнем – определение объемной плотности однородного тела. Хотя объем тела v можно вычислить с помощью тройного интеграла, но в нашем случае имеется «школьная» формула V Оставшийся тройной интеграл вычислим в сферических координатах:

Так как в рассматриваемом случае 0 < j < 2p, 0 < q < p/2, 0 < r < R, то

Ответ: x_c = y_c = 0, z_c = (8/3)R.

Пример 12. (см. пример 2 стр. 183)

Найти массу тела с плотностью m = x + y + z, ограниченного плоскостями
x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

Тело, массу которого необходимо найти, является прямоугольным параллелепипедом. Согласно формуле (15) имеем:

Пример 13.

Найти моменты инерции однородного (m = 1) цилиндра с высотой «h» и радиусом основания «а» относительно диаметра основания и относительно оси цилиндра, считая, что ось цилиндра направлена по оси Ох.

Поместим начало координат в центр нижнего основания цилиндра. Тогда уравнение цилиндра будет иметь вид y² + z² = a². Моменты инерции, которые мы находим, будут равны моментам инерции относительно координатных осей Oz и Ox. Следовательно, имеем:

Введем цилиндрические координаты: y = rcosj, z = rsinj, x = x, и тогда

Пример 14.

Пример 15.

Вычислить момент инерции однородного шара (m=1) радиуса 1 относительно его центра. Поместим начало координат в центр шара. Тогда момент инерции шара относительно центра будет равен моменту инерции шара относительно начала координат. Согласно формуле (18) имеем:

Введя сферические координаты, получим:

Пример 16.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом и плоскостью у = 0 (у 0).

Согласно формулам (15), (19) имеем: