Схема исследования функции на экстремумы

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример Найти экстремумы функции f(x) = 2x³ - 15x²+ 36x - 14.

Решение. Так как f ¢ (x) = 6x² - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x₁ = 2 и x₂ = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x₁ = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x₂ = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x₂ = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x₁ = 2 и x₂ = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пусть функция дифференцируема на интервале (a, b).

Функция выпукла (вогнута) на интервале (а, в) если в пределах этого интервала график функции лежит не выше (ниже) любой своей касательной.

Теорема: Пусть функция определена на интервале (а, в) и , , тогда выпукла вниз (выпукла вверх) на интервале (а,b). Если неравенство строгое, то строго выпукла вверх (строго выпукла вниз).

Точки перегиба

Точка графика дифференцируемой функции , при переходе через которую график меняет выпуклость на вогнутость и наоборот называется точкой перегиба.

Теорема 1 (Достаточное условие перегиба): Вторая производная обращается в точке х₀ функции обращается в ноль и при переходе через эту точку меняет знак, то точка с координатами (х₀,f(x₀)) графика данной функции является точкой перегиба.

Теорема 2 (Необходимое условие перегиба): Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть .