Понятие бесконечно малой и бесконечно большой числовой последовательности.

Определение числовой последовательности.

Если каждому значению п натурального ряда чисел 1, 2,......, п,...

ставится в соответствие по определенному закону некоторое веще-

ственное число хп, то множество занумерованных вещественных чисел х1, х2, х3,.... хn,...

мы и будем называть ч и с л о в о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю или просто п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю.

Пример 1.

Таким образом, получаем последовательность

Пример 5.

1, 3, 5, 7, 9,....
Здесь у_n = 2_n - 1 (последовательность нечетных чисел).

Пример 6.

2, 4, 6, 8,10,....
Здесь у_n = 2_n (последовательность четных чисел).

2. Определение предела числовой последовательности.
число а называется пределом числовой последовательности аn, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел n³ N выполняется модуль раз-

ности |an-a|<ε Û " ε>0 $ N: " n³ N Þ|an-a|<ε.

Обозначается: Lim an=а

Начиная с этого номера N, все числа этой последовательности попада-

ют в ε окрестность числа а. Другими словами, начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε, может находиться не более конечного числа членов последовательности.

Пример. Найтн предел последовательности:

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, последовательность сходится к 0:

Результат: полученный в примере 2, является частным случаем более общего утверждения:

А что будет с последовательностью Пусть, например, q =2, т.е. речь идет о последовательности 2, 2², 2³, 2⁴,..., 2²,... Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение:

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой числовой последовательности.

Связь между ними.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

4. Св-ва пределов числовых последовательностей.
Доказать второй замечательный предел.
Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность { y_n }называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 < y 2 < y 3 < …< y_n < y_n +1 < ….

Определение.Последовательность { y_n }называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y_n > y_n +1 > ….

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y_n = n 2\shad \shad0– возрастающая последовательность.

Пример 2. y 1 = 1; – убывающая последовательность.

Пример 3. y 1 = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

Определение.Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T,что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n+T. Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

Доказать второй замечательный предел.