Производная обратной функции.

Определение: Пусть на интервале (a,b) задана непрерывная строго монотонная, т.е. строго возрастающая или строго убывающая, функция . Пусть образ (a,b) есть интервал (A,B). тогда обратная к функция есть однозначная непрерывная и строго монотонная на (A,B) функция.

Зафиксируем и дадим ему приращение Тогда получит соответствующее приращение

Наоборот,

Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указанных имеет место утверждение: из следует , и обратно.

Пусть теперь функция в точке у имеет неравную нулю производную . Покажем, что в таком случае функция также имеет в соответствующей точке х производную. В самом деле,

Так как из того, что следует, что , то

Этим доказано, что если есть строго монотонная непрерывная функция и обратная к ней функция, имеющая в точке у производную , то функция имеет в соответствующей точке х производную, определяемую формулой (1).

Может случится, что в точке В этом случае, очевидно, функция имеет в соответствующей точке х производную .

Если же , то для строго возрастающей функции при этом , а для строго убывающей . В первом случае , а во втором .

Пример 1.