Геометрическая интерпретация.

Пусть независимый аргумент X образует некоторую числовую последовательность: Х₁; Х₂; Х₃; …; Х_n; Числовая последовательность может быть организована по некоторому закону. При изменении номера n, члены последовательности могут стремиться к некоторому фиксированному числу. Например в примере при n члены последовательности стремятся к нулю. Число к которому стремятся члены числовой последовательности при увеличении n, называют пределом числовой последовательности. Введём некоторую окрестность числа a в первом примере Число А наз. пределом числовой последовательности Xn, если для как угодно малого положительного найдётся такой номер N, начиная с которого n>N, все члены последовательности попадают в - окрестность этого числа А, или выполняется неравенство Если А – конечное число, то говорят числовая последовательность сходится, её называют сходящейся. Если А, то числовая последовательность расходящаяся.Операции со сходящимися последовательностями. Пусть имеем две сходящиеся последовательности. Тогда предел суммы, разности, произведения, частного равен соответственно сумме, разности, произведению, частному (не равному 0), этих пределов. Понятие предела функции в точке.Односторонние пределы. Если независимый аргумент функции f(x) изменяется, и образует числовую последовательность {Xn}, а именно x ₁; x ₂; x ₃; …; x _n; то функция y образует тоже числовую последовательность f(x ₁); f(x ₂); f(x ₃); …; f(x _n); Т. е. Имеем две последовательности x _n и y _n. Чтобы сформулировать определение предела функции y (x _n) в точке x ₀, нужно повторить дважды определение предела для числовой последовательности x _n и y _n. Число A называется пределом функции f(x), если для любого сколь угодно малого >0, найдётся как угодно малое, что начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
| x – x₀ |< и | f(x) – A|<. Из определения предела f(x) в x ₀ не следует
A= f(x ₀). Может быть, что в точке x ₀ функция не определена, а предел в этой точке существует. Например: В точке x функция не определена, а предел равен 1. Понятие предела функции в точке. Односторонние пределы. Понятие предела числовой последовательности. Геометрическая интерпретация. Первый, Второй замечательные пределы

Первый замечательный пределSOBC>SOAmB>SOAB

SOAB=1/2*R²sin(x)

SOAmB=1/2*R²* x

SOBC=1/2*R²tg(x)

Подставим значение площадей в неравенство

1/2*R²tg(x)> 1/2*R²* x >1/2*R²sin(x)

tg(x)> x > sin(x) аргумент x в I четверти sin(x)>0, разделим неравенство на sin(x), получим

Перейдём к пределу при x 0, получим:

В неравенстве предел sin(x)/x при x 0 с одной стороны <1, а с другой >1, то остаётся одно – равно 1.Второй замечательный предел:или

Первый, Второй замечательные пределы Теорема о пределах функции(сумма, произведение и частное) Бесконечно малые функции и операции с ними Связь бесконечно малых функций, сравнение их

Функция f (x) называется бесконечно малой в точке x =0 если предел при x 0 функции f (a)=0.

lim{ x 0}sin(x)=0 lim{ x 0}arcsin(x)=0

lim{ x 0}tg(x)=0

При произведении, сумме, разности бесконечно малых ф-ций получается бесконечно малая функция. Рассмотрим отношение двыух бесконечно малых функций.(Конечное) Эти функции называют бесконечно малыми функциями одного порядка.Если А=1, то такие функции называют эквивалентными бесконечно малыми функциями.

Sin(x) x эквивалентно x 0.

Если

то f (x)<(x)

Если

то f (x)>(x)

Аналогичное сравнение можно провести с бесконечно большими функциями.

4. Бесконечно малые функции. Основные теоремы о б.м.ф. Связь между функцией, ее пределом и б.м.ф. Сравнение бесконечно малых функций.