Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.Если функция f имеет производную f΄(xo) в точке xo, то существует предел , где Δ f=f(xo+ Δ x)-f(xo), , или , где A=f΄(xo). Определение: Функция f дифференциируема в точке xo, если ее приращение представимо в виде: , где A Δ x=df. (*) Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции. Если существует конечная производная f΄(xo) в точке xo, то функция f(x) дифференцируема в этой точке. Верно и обратное: если функция f дифференцируема в точке xo, т.е. ее приращение представимо в виде (*), то она имеет производную в точке xo, равную A: Геометрический смысл дифференциала: A и B – точки графика f(x), соответствующие значениям xo и (xo+ Δ x) независимой переменной. Ординаты точек A и B соответственно равны f(xo) и f(xo+ Δ x). Приращение функции Δ f=f(xo+ Δ x)-f(xo) в точке xo равно длине отрезка BD и представимо в виде суммы Δ f=BD=DC+CB, где DC=tgα Δ x=f΄(xo) Δ x и α есть угол между касательной в точке A к графику и положительным направлением оси x. Отсюда видно, что DC есть дифференциал функции f в точке xo: DC=df=f΄(xo) Δ x. При этом на долю второго члена CB приращения Δ f приходится величина . Эта величина, при больших Δ x, может быть даже больше, чем главный член, но она есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ x, когда Δ x→0.
9. Правило Лопиталя. Случай 0/0. Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0) Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то Доказательство: 1) a – конечное. Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x] при f(a)=g(a)=0 => 2) Пусть Введем функции и Теорема доказана. Замечание: обратное неверно. Пример: Правило Лопиталя. Случай . Теорема: Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и и в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если , то и Доказательство: Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне и Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C = - аналогично для g(x) Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства: , Используя термины можно записать: , Пояснение: , а т.к. Найдем теперь предел отношения к : [ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ] [ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше] - по определению предела по Гейне. Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, (ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится. Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.
10.Схема исследования функции и построения графика функции При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:
Решение. 1) Область определения функции. 2) Четность, нечетность. Функция общего вида. 3) Точки пересечения с осями. а) с осью : то есть точки б) с осью : в данной точке функция неопределенна. 4) Асимптоты. а) вертикальные: прямые и - вертикальные асимптоты. б) горизонтальные асимптоты: то есть прямая - горизонтальная асимптота. в) наклонные асимптоты : Таким образом, наклонных асимптот нет. 5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания. Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: для любого из области определения функции; не существует при и . Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет. 6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: ; при и вторая производная не существует. Таким образом, на промежутках и функция вогнута, а на промежутках и - выпукла. Так как при переходе через точку вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба. 7) Эскиз графика.
|