Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

11-20. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:

1) длину ребра АВ;

2) угол между ребрами АВ и AS;

3) угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;

4) площадь основания пирамиды;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой АВ;

7) уравнение плоскости АВС;

8) проекцию вершины S на плоскость АВС;

9) длину высоты пирамиды.

11. А(-2;0;0); В(0;3;0); C(0;0;1); S(0;2;3).

12. А(4;0;0); В(0;-8;0); C(0;0;2); S(4;6;3).

13. А(-2;0;0); В(0;6;0); C(0;0;2); S(-1;6;4).

14. А(1;0;0); В(0;2;0); C(0;0;2); S(1;1;4).

15. А(-3;0;0); В(0;-2;0); C(0;0;1); S(-2;-1;3).

16. А(6;0;0); В(0;-3;0); C(0;0;2); S(4;-3;4).

17. А(3;0;0); В(0;-6;0); C(0;0;1); S(1;-3;3).

18. А(-4;0;0); В(0;4;0); C(0;0;2); S(-2;4;3).

19. А(-6;0;0); В(0;2;0); C(0;0;3); S(-3;2;5).

20. А(-1;0;0); В(0;5;0); C(0;0;2); S(-1;3;4).

51-60. Дана система линейных уравнений:

Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

91-100. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z³+a=0.

91. . 92. . 93. .

94. .95. . 96. .

97. . 98. . 99. . 100. .

111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

111. а) ; б) ;

в) ; г) .

112. а) ; б) ;

в) ; г) .

113. а) ; б) ;

в) ; г) .

114. а) ; б) ;

в) ; г) .

115. а) ; б) ;

в) ; г) .

116. а) ; б) ;

в) ; г) .

117. а) ; б) ;

в) ; г) .

118. а) ; б) ;

в) ; г) .

119. а) ; б) ;

в) ; г) .

120. а) ; б) ;

в) ; г) .