П.2 Перевод чисел в десятичную систему счисления

Возьмем число 125. Данное число было записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое является основанием десятичной системы счисления.

В развернутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 125 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

125₁₀ = 100 + 20 + 5 = 1 × 10² + 2 × 10¹ + 5 × 10⁰.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 125,35 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

125,35₁₀ = 1 × 10² + 2 × 10¹ + 5 × 10⁰ + 3 × 10^-1 + 5 × 10^-2.

Число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

125,35₁₀ × 10 = 1253,5₁₀ 125,35₁₀: 10 = 12,535₁₀.

Двоичная система счисления. Числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа выглядит следующим образом:

А₂ = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 0 × 2^-1 + 1 × 2^-2.

Это же число в свернутой форме:

А₂ = 101,01₂.

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:

101,01₂ × 2 = 1010,1₂,

101,01₂: 2 = 10,101₂.

Аналогично происходит в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления

Возьмем любое двоичное число, например 10,11₂. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:

10,11₂ = 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 = 1 × 2 + 0 × 1 + 1 × 1/2 + 1 × 1/4 = 2,75₁₀.

Переведем теперь число 1В2,0А₁₆

1В2,0А₁₆= 1 × 16² + В × 16¹ + 2 × 16⁰ + 0 × 16^-1 + А × 16^-2 =

= 1 × 256 + 11 × 16 + 2 × 1 + 0 + 10 × 1/256 =

= 434 + 0,0390625 = 434,0390625₁₀

Задания

1. Перевести: а) 231₁₀=?₂ б) 888₁₀=?₈ в) 2748₁₀=?₁₆

2. Перевести до 5 знаков после запятой: а) 174,15₁₀=?₂ б) 643,25₁₀=?₈ в) 4005,12₁₀=?₁₆

3. Перевести в десятичную систему счисления: а) 100101₂ б) 177₈ в) D05₁₆

4. Перевести в десятичную систему счисления: а) 100,011₂ б) 156,72₈ в) А1,5₁₆