Определений усилий в статически определимой балке с использованием численных методов

Цель задания: Рассчитать балку аналитически и методом конечных элементов. Проверить результаты ручного счета в ПК Scad.

Дана балка пролетом 6 м, на нее действует вертикальная распределенная нагрузка q.

Расчет балки аналитическим методом [17]:

Рисунок 3.106 – Эпюры

Решение:

Нахождение реакции опор:

R_B*l-q*l²/2=0

-R_A*l+q*l²/2=0

Проверка правильности определения опорных реакций:

R_A- q*l+R _B =0

60-20*6+60=0 0≡0

1. Расчет эпюры поперечных сил Q:

При z=0 Q=60 кН

При z=6 Q=60-20*6=-60 кН

^{2. Расчет изгибающих моментов:}

При z=0 М=0 кН*м

При z=0 М=60*6-20*6²/2=0 кН*м

60=20*l l=3 метра

При z=3 М=60*3-20*3²/2=90 кН*м

Расчет балки Методом Конечных Элементов с учётом равномерно распределённой нагрузки (анилитически) [23]:

В случаях, когда требуется учесть распределённую поперечную нагрузку, действующую вдоль оси стержня, необходимо заменить её статически эквивалентной системой сосредоточенных в узлах поперечных сил и изгибающих моментов. Заменим распределённую нагрузку постоянной интенсивности q, действующую по всей длине балочного элемента (Рисунок 3.108 а), статически эквивалентной системой сосредоточенных сил и моментов, приложенных в узлах элемента (Рисунок 3.108 б).

Рисунок 3.108 – Учёт равномерно распределённой нагрузки

Перерезывающее усилие, действующее на элементарном участке dх:

dF = qdx.

Элементарная работа перерезывающей силы на перемещении v(х):

δW = v (x)・ dF = v (x)・ qdx = Фu qdx.

Работа распределённой нагрузки

Работа эквивалентной системы нагружения (рисунок 3.10 б)

W= F_iν_i+M_iθ_i+F_jν_j+M_jθ_j=F^Tu={F_i M_i F_j M_j}u

Сравнивая уравнения, получим (Рисунок 3.108 в)

Рисунок 3.109 – Схема балки

Уравнение для определения неизвестных реакций:

(1)

Геометрические характеристики сечения:

– площадь: А=b*h=0.4*0.7=028 м²;

– момент инерции: I_x=b*h³/12=2.133*10^-3;

Заменим нагрузку q статически эквивалентной системой сил и моментов. Силовые граничные условия:

Формируем матрицу жесткости конечного элемента. Так как каждый узел имеет две степени свободы, а узлов 2, то размерность матрицы жесткости конструкции 4х4.

Кинематические

Уравнение равновесия системы с учётом граничных условий:

(2)

Уравнение для нахождения неизвестных перемещений:

Откуда находим:

Подставляем значения и в уравнение (1):

Расчет балки МКЭ в ПК SCAD:

Рисунок 3.109 – Расчетная схема балки в SCAD

Рисунок 3.110 – Эпюра изгибающих моментов

Рисунок 3.111 – Эпюра продольных усили

Вывод расчета: Расхождение результатов расчета в пределах 5%.

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

4. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.