Приближенное вычисление определенных интегралов

На практике часто требуется вычислить определенные интегралы от функций, для которых не удается найти первообразные. В этом случае осуществляют численный расчет по формулам приближенного интегрирования. Иногда это удобно делать и для функций, первообразные которых найти можно.

Рассмотрим три наиболее употребляемые формулы вычисления определенного интеграла – формулу прямоугольников, формулу трапеций и формулу парабол (Симпсона).

Пусть необходимо вычислить интеграл , пользуясь этими формулами. Построим график данной функции на заданном отрезке.

у   2     - 1 0 1 х   Рисунок 17

1) Так как первообразную этой функции найти легко, вначале вычислим этот интеграл, пользуясь формулой Ньютона – Лейбница.

= т. к. пределы интегрирования симметричны, а подынтегральная функция четная, воспользуемся свойством интегрирования четных функция в симметричных отрезках =

2) Рассмотрим на этом же примере метод прямоугольников.

Рисунок 18

Отрезок разбивается на равных частей длины . В середине каждого такого отрезка строим ординату . Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью . Тогда сумма площадей всех прямоугольников дает площадь фигуры, представляющую собой

приближенное значение искомого определенного интеграла:

,

где .

Нашу фигуру мы разбили на 8 равных частей с шагом

.

Тогда при:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Подставляем найденные значения в формулу:

2) Теперь рассмотрим метод трапеций для этого же интеграла.

Эту формулу получают аналогично предыдущей, достраивая в процессе разбиения каждую фигуру до обычной трапеции.

Тогда

3) Вычислим данный интеграл по формуле парабол (формула Симпсона).

Если заменить график функции на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, а дугами парабол, то получим формулу Симпсона:

В нашем случае: т.к. отрезок разбивается на равных частей, то

Вывод. Сравнивая ответы, видим, что данный интеграл приближенно находится с различной степенью точности по различным формулам.

Задания для самостоятельной работы

Вычислить приближенно определенные интегралы:

Ответы:

1. , разбивая отрезок [ 1; 2 ] на 10 частей с округлением до 4-го десятичного знака по формуле прямоугольников.	0, 7188
2. , разбивая отрезок [ 0; 1 ] на 6 частей с округлением до 4-го десятичного знака по формуле трапеций.	0, 8109
3. , разбивая отрезок [ 1; 3] на 4 части с округлением до 4-го десятичного знака по формуле Симпсона.	0, 8111