Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
III. Приложения определенного интеграла1. С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур, ограниченных кривыми. Напомним, что кривые могут быть заданы различными способами, т.е. 1) в прямоугольных декартовых координатах (в явном виде и параметрически); 2) в полярных координатах. Рассмотрим случаи вычисления площадей плоских фигур в прямоугольных координатах. а) если фигура представляет из себя криволинейную трапецию вида.
б) если криволинейная трапеция расположена ниже оси , т.е. тогда исходя из свойств определенного интеграла
В общем случае ;
в) если плоская фигура имеет сложную форму, т.е. прямые «вырождаются» в точки, то фигуру следует разбить на части так, чтобы можно было применить известные формулы.
Проиллюстрируем некоторые возможные варианты:
д) если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной кривой , то
Рассмотрим примеры нахождения площади плоских фигур: Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: Решение.
; откуда координаты вершины , ветви вниз. Находим точки пересечения параболы с осью : , , или , . б) Чтобы найти площадь данной фигуры, разобьем ее на части. Для этого найдем координаты точек пересечения графиков, решив систему уравнений данных линий:
Тогда (кв. ед). ; (кв. ед.). . (кв. ед). в) (кв. ед.) Замечание. Площадь этой же фигуры можно вычислить более рациональным способом, применив формулу Ответ: кв. ед. Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой и осью Оу. Решение.
б) Для вычисления площади этой фигуры воспользуемся случаем, когда кривая задана функциональной зависимостью . Выразим через : . Тогда (кв. ед.). Ответ: кв. ед. Замечание. Если линия, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически, то Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , прямой и осью . Решение. Построим графики данных функций. Так как одна из линий задана параметрически, то придавая параметру произвольные значения, составим таблицу значений функции.
(кв. ед.). кв. ед. Ответ: кв. ед. 2. Вычисление площадей плоских фигур в случае, когда линии, их ограничивающие, заданы в полярной системе координат. Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора АОВ вычисляется по формуле:
Пример 4. В полярной системе координат построить фигуру, ограниченную указанной линией, и вычислить ее площадь: . Решение. а) Составим таблицу значений задавая шаг для .
б) Вычислим , т.к. изменяется от 0 до (см. рис. 12), т.к. фигура симметрична относительно Ох, где Ответ: кв. ед.
|