Б) Физический смысл определенного интеграла

А) Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. плоскую фигуру, ограниченную сверху графиком , прямыми: с боков и отрезком оси . Тогда определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, т.е.

Рисунок 2

б) Физический смысл определенного интеграла

Работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция, действующей на отрезке , равна определенному интегралу от величины силы, взятому по отрезку , т.е. .

Таким образом, работа силы по перемещению точки вдоль оси из точки в точку равна данному определенному интегралу.

5. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

Сформулируем следующую теорему.

Теорема. Если непрерывна на и - какая-либо ее первообразная на , т.е. , то имеет место формула Ньютона – Лейбница:

.

Таким образом, для вычисления определенного интеграла некоторой непрерывной функции нужно уметь находить ее первообразную. Следовательно, методы нахождения неопределенного интеграла переносятся на определенный интеграл. Однако отметим некоторые особенности вычисления определенного интеграла:

а) интегрирование с помощью замены переменной в определенном интеграле. Рассмотрим два возможных способа вычисления одного и того же интеграла.

б) интегрирование по частям в определенном интеграле рассмотрим на примере:

;

в) интегрирование четных и нечетных функций в симметричных отрезках интегрирования:

- четная     Рисунок 3

- нечетная           Рисунок 4

Рассмотрим применение этой формулы на примерах:

нечетные функции, интегралы от них =0. =