Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Исследование функций с помощью производныхМонотонность функции Теорема “Признак монотонности функции”. Если функция дифференцируема на промежутке и её производная на этом промежутке положительна (отрицательна), то функция на промежутке возрастает (убывает). Например. Найти промежутки монотонности функции . Найдём производную . Очевидно, что при , и функция возрастающая, а при , и функция убывающая. Экстремумы функции Точка называется точкой максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки этой окрестности выполняется неравенство: (). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума. Теорема“Необходимый признак экстремума функции одного аргумента”. Если является точкой экстремума, то либо не существует. Точки, в которых выполняется необходимое условие, называют критическими. Например. Для функции критическими точками являются и , так как при и . Теорема“Первый достаточный признак экстремума функции одного аргумента”. Если непрерывна в критической точке , дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением быть может самой точки , и при переходе через точку производная функции меняет свой знак с + на -, то является точкой максимума, если производная меняет знак с - на +, то - точка минимума, если производная не меняет знака при переходе через , то не является точкой экстремума. Например. Для функции : и производная меняет свой знак с + на – в точке и, следовательно, является точкой максимума, а в точке производная меняет знак с - на + и - точка минимума этой функции. Рис.1.5. Теорема «Второй достаточный признак наличия экстремума». Если в критической точке функции обращаются в ноль не только её первая производная , но и все последующие производные до (n-1) –го порядка включительно , а производная n -го порядка существует и отлична от нуля , то точка будет точкой экстремума, если число n чётное и не будет ею, если n нечетное. Характер экстремума при чётном n определяется по знаку производной n -го порядка : если , то -точка минимума, а если , то точка максимума. Например. Для функции в критической точке , обращаются в 0 , , и , а , поскольку номер отличной от 0 производной нечётный -5, следовательно не является точкой экстремума. Следствие. Если , а , то при точка есть точка максимума, а при точка минимума.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a,b] надо: 1. Найти критические точки функции. 2. Выбрать из критических точек те, которые принадлежат отрезку [a,b]. 3. Вычислить значение функции в выбранных точках и на концах отрезка. 4. Выбрать набольшее и наименьшее значение из полученных значений функции.
|