Производная неявно заданной функции

Пусть зависимость между аргументом и функцией задана уравнением не разрешённым относительно :

Тогда, дифференцируя это уравнение по , и, считая при этом функцией от , получим уравнение связывающее , т.е. .

Выражая из этого равенства , найдём производную вновь как неявно заданную функцию:

.

Например.

Найти производную неявно заданной функции .

Дифференцируя уравнение по , получаем:

, .

Перенесём члены содержащие в одну часть равенства, а не содержащие в другую: , выразим : ,

Производная параметрически заданной функции

Если зависимость между и задана параметрическими уравнениями:

, причем , то .

Например.

Найти производную параметрически заданной функции , .

Имеем: ,

,

,

Таким образом, .

Производные высших порядков